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不定積分の問題

解き方がわかりません(>_<)置換積分で上手くいかなかったのですがどうしたらいいでしょうか? ∫1/(x^4+4)dx ∫x^2/(x^4+4)dx

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22_
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回答No.3

x^4+4=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2) なので 1/(x^4+4)=(1/8){(x+2)/(x^2+2x+2)}-(1/8){(x-2)/(x^2-2x+2)} (x^2)/(x^4+4)=(1/4){x/(x^2-2x+2)}-(1/4){x/(x^2+2x+2)} と部分分数分解できます。 [前半の設問] Ia=∫1/(x^4+4)dx =(1/8){∫(x+2)/(x^2+2x+2)dx-∫(x-2)/(x^2-2x+2)dx} =I1-I2 I1=(1/8)∫{(x+2)/(x^2+2x+2)dx x^2+2x+2=(x+1)^2+1,x+1=tで置換積分して (途中略) =(1/16)log(x^2+2x+2)+(1/8)arctan(x+1)+c1 I2=(1/8)∫{(x-2)/(x^2-2x+2)dx x^2-2x+2=(x-1)^2+1,x-1=tで置換積分して (途中略) =(1/16)log(x^2-2x+2)-(1/8)arctan(x-1)+c2 ∴Ia=I1-I2 =(1/16)log{(x^2+2x+2)/(x^2-2x+2)} +(1/8){arctan(x+1)+arctan(x-1)}+C =(1/8)log{(x^2+2x+2)/(x^4+4)}+(1/8){arctan(x+1)+arctan(x-1)}+C (C=c1-c2:積分定数) [後半の設問] Ib=∫x^2/(x^4+4)dx =(1/4){∫x/(x^2-2x+2) dx-∫{x/(x^2+2x+2)}dx} =I3-I4 I3=(1/4)∫x/(x^2-2x+2) dx x^2-2x+2=(x-1)^2+1,x-1=tで置換積分して (途中略) =(1/8)log(x^2-2x+2)+(1/4)arctan(x-1)+c3 I4=(1/4)∫x/(x^2+2x+2) dx x^2+2x+2=(x+1)^2+1,x+1=tで置換積分して (途中略) =(1/8)log(x^2+2x+2)-(1/4)arctan(x+1)+c4 ∴Ib=I3-I4 =(1/8)log{(x^2-2x+2)/(x^2+2x+2)} +(1/4){arctan(x-1)+arctan(x+1)} +C =(1/4)log(x^2-√2x+2)-(1/8)log(x^4+4) +(√6/12){arctan(x-1)+arctan(x+1)} +C (C=c3-c4:積分定数)

konchan88
質問者

お礼

解けました!ありがとうございます(>_<)

その他の回答 (2)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

x^4+4 = (x^2+2i)(x^2-2i) = (x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i) から複素係数で部分分数分解してもよいし、 (x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i) = {(x+1+i)(x+1-i)}{(x-1-i)(x-1+i)} = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2) とまとめるなり、 x^4+4 = (x^2+2)^2-4x^2 = (x^2+2+2x)(x^2+2-2x) と分解するなりして、 実係数で部分分数分解してもよい。 実部分分数分解を使えば、 1/(x^4+4) = (1/8){(x+2)/(x^2+2x+2) - (x+2)/(x^2-2x+2)} = (1/16){(2x+4)/(x^2+2x+2) - (2x+4)/(x^2-2x+2)} = (1/16){(2x+2)/(x^2+2x+2) - (2x-2)/(x^2-2x+2)}  + (1/8){1/(x^2+2x+2) + 3/(x^2-2x+2)}.

konchan88
質問者

お礼

解けました!!ありがとうございます!

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

とりあえず部分分数に分けてから考える.

konchan88
質問者

お礼

分母が(x+4)^4ならなんとかなりそうですが、分母x^4+4の部分分数分解って出来るんですか??

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