外積の計算方法と空間曲線における曲率の求め方

質問

• 外積の計算方法とは、2つのベクトルの法則性を利用して、新しいベクトルを求める操作です。
• 空間曲線における曲率の求め方は、外心を求めた後、極限値を取ることで曲率中心、曲率半径、曲率を求めます。
• しかし、外積の計算が分からない場合や計算結果が0になる場合、曲率が無限大になります。正しい計算方法を確認する必要があります。

回答No.1

muturajcp

x(t+δ)-x(t)≒x'δ+x"δ^2/2=a
x(t+ε)-x(t)≒x'ε+x"ε^2/2=b
p=a×b×{(|b|^2)a-(|a|^2)b}/(2|a×b|^2)
とすると
b×b=0だから
b×{(|b|^2)a-(|a|^2)b}
={(|b|^2)b×a}-{(|a|^2)b×b}
=(|b|^2)b×a
だから
p=a×b×a(|b|^2)/(2|a×b|^2)

a×b=(x'δ+x"δ^2/2)×(x'ε+x"ε^2/2)
a×b={(εx'×x"+δx"×x')/2+(x'×x')+(x"×x"δε/4)}δε
↓x'×x'=x"×x"=0だから
a×b={(εx'×x")+(δx"×x')}δε/2

a×b×a={(εx'×x")+(δx"×x')}×(x'+x"δ/2)εδ^2/2
↓x'×x'=x"×x"=0だから
a×b×a
=(x'×x"×x'ε/2+x"×x'×x"δ^2/4+x'×x"×x"εδ/4+x"×x'×x'δ/2)εδ^2
={(2εx'×x"×x')+(x"×x'×x"δ^2)}εδ^2/4

|b|^2=|x'ε+x"ε^2/2|^2
|b|^2=(|x'|^2+(x',x")ε+|x"|^2ε^2/4)ε^2

a×b×a(|b|^2)
=(2εx'×x"×x'+x"×x'×x"δ^2){|x'|^2+(x',x")ε+|x"|^2ε^2/4}ε^3δ^2/4

2|a×b|^2
=2|{(εx'×x")+(δx"×x')}δε/2|^2
=|εx'×x"+δx"×x'|^2{(εδ)^2}/2
={ε^2|x'×x"|^2+δ^2|x"×x'|^2+2εδ(x'×x",x"×x')}{(εδ)^2}/2

p=
(2εx'×x"×x'+x"×x'×x"δ^2)δ^2ε^3{|x'|^2+(x',x")ε+|x"|^2ε^2/4}/4
/[{ε^2|x'×x"|^2+δ^2|x"×x'|^2+2εδ(x'×x",x"×x')}{(εδ)^2}/2]
↓
p=
(2εx'×x"×x'+x"×x'×x"δ^2)ε{|x'|^2+(x',x")ε+|x"|^2ε^2/4}
/{2{ε^2|x'×x"|^2+δ^2|x"×x'|^2+2εδ(x'×x",x"×x')}}

lim_{δ→0}p
=(2εx'×x"×x')ε{|x'|^2+(x',x")ε+|x"|^2ε^2/4}/(2ε^2|x'×x"|^2)
=(x'×x"×x'){|x'|^2+(x',x")ε+|x"|^2ε^2/4}/(|x'×x"|^2)

lim_{ε→0}(lim_{δ→0}p)
=lim_{ε→0}(x'×x"×x'){|x'|^2+(x',x")ε+|x"|^2ε^2/4}/|x'×x"|^2
=
(x'×x"×x')(|x'|^2)/|x'×x"|^2