高校数学 整数問題を解く方法
- n個の自然数 x(1),x(2),…,x(n)のどれもnで割り切れないとき、x(j)-x(i) (1≦i<j≦n)がnの倍数となる2つの自然数i,jが存在することを示せ。
- n個の自然数 a(1),a(2),…,a(n)からなる集合をSとする。Sの空でない部分集合で、その要素の和がnで割り切れるものが存在することを示せ。
- (2)の解法について、(ア)nで割り切れる要素が存在する場合と、(イ)nで割り切れない要素の場合に分けて考えることができる。そして、(イ)の場合は(1)の条件を利用して証明することができる。
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高校数学 整数問題
nは2以上の自然数とする。 (1) n個の自然数 x(1),x(2),…,x(n)のどれもnで割り切れないとき、 x(j)-x(i) (1≦i<j≦n) がnの倍数となる2つの自然数i,jが存在することを示せ。 (2) n個の自然数 a(1),a(2),…,a(n)からなる集合をSとする。Sの空でない部分集合で、その要素の和がnで割り切れるものが存在することを示せ。 (2)について、 (ア)a(1),a(2),…a(n)のうち少なくとも1つnで割り切れるものが存在する場合 と、 (イ)a(1),a(2)…a(n)がすべてnで割り切れない場合 に分けて、(イ)で(1)を利用すると思うのですが、どのように(1)を使えばよいのでしょうか？
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