統計量の行列表現と歪度の表現方法について
- 統計量の行列表現について述べました。データセットの分散を行列で表す方法を紹介しました。
- さらに、データセットの歪度を行列で表現する方法について質問しました。
- 平均が0の場合、歪度はデータの3乗の平均となりますが、それを行列で表現できるのか疑問を持っています。
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統計量の行列表現について
データセットx_i (i=1,2,...n)の 分散 v を考えます（式が面倒になるので、平均は０とします）。 通常でしたら、データの2乗の平均でいいのですが（平均は０なので）、これはデータセットの各データが均等の確率で現れるという前提で求められる分散です。 一般には、 v=Σ p(i) x_i^2 となると思います（p(i)はデータx_iが現れる確率）。 次にこれを行列で表すことを考えます。 データセットのベクトルをX （列ベクトル）とすると、 v = X^{T} W X という行列の積になります。 ここでWは W=diag (p_1, p_2,...p_n) という対角行列で、まあ加重行列とでも呼びましょう。 さて、ここからが質問なのですが、この方式で歪度は表現できるのでしょうか？ 平均が0なので、歪度はデータの3乗の平均です。加重を考えると、 歪度 = Σp(i)\times x_i^3 です。 これを X と Wで表現したいのですが、どうもうまくいきません。 何か知恵がございましたらよろしくご教示ください。
- shingo-numtech
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質問者が選んだベストアンサー
2 乗和であることを反映して、W は添字が 2 個でした。 p_i は添字 1 個なのに、W に作り変えた訳です。 3 乗和のためにも、新たな係数を作ればいい。 A(i,j,k) = (i=j=kのとき)p_i, (それ以外のとき)0 と置いて、 ΣΣΣ[i,j,kのすべての組み合わせについて] A(i,j,k) x_i x_j x_k を計算すれば、目的の 3 乗和になります。 A は行列じゃなく、3 階テンソルになりますが。
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