因数分解の問題

質問

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
aについて整理する。
＝｛a+(b+c)｝{(b+c)a+bc}-bca
＝(b+c)a^2+｛bc+(b+c)^2-bc｝a+(b+c)bc
＝(a+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc
＝(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
＝(b+c)(a+b)(a+c)
＝(a+b)(b+c)(c+a)

この問題がよく分かりません。
解説読んでもぱっとしません。
何と何がくっついてこうなった、など解説よりも詳しく教えてくれたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
aについて着目する。(ab+bc+ca)の項はaでくくり出す。
{a+(b+c)}{(b+c)a+bc}-abc
普通に展開する。
(b+c)a^2+abc+(b+c)^2a+(b+c)bc-abc
abcの項が消える。
(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc
(b+c)でくくり出す。
(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
{}の中を、たすきがけで因数分解する。
(b+c)(a+b)(a+c)
きれいに並べ替える。
(a+b)(b+c)(c+a)
おしまい。

回答No.3

j-mayol

分からないなら美しく解かねばいいのです。
(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
展開して
=a^2b+abc+ca^2+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+c^2a-abc
ここで1つの文字に注目して
=a^2b+ca^2+ab^2+c^2a+2abc+b^2c+bc^2
=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+bc(b+c)
=(b+c)a^2+(b+c)^2+bc(b+c)
共通因数でくくって
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(c+a)

回答No.2

bgm38489

(a+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc
ではなく、
(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc
という風に整理したら、共通因数(b+c)が見つかって、残りa^2+(b+c)a+bcは公式どおり因数分解できる、というだけ。
aについて整理するには、掛け算の結果、a^2が出てくるもの、aが出てくるもの、aが出てこないものに分けて、展開する。aとab,caを掛け合わせたらa^2が出てくる、という風に、暗算でできるね。
式の展開は、繰り上がりのない掛け算みたいなものだから、小学校で習う掛け算より簡単！