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不定形の極限について
ask-it-auroraの回答
lim[x → 1+0] x^2/(x - 1) = ∞ を求めるのに lim[x→a] f(x) g(x)=αβ を使ったと質問文には書いてあるますが，これはよくありません．いみじくもすぐ隣に書いてあるように 「但し、lim[x→a]f(x)=α、lim[x→a]g(x)=βが前提」 です．これは（数学の慣習でそうとは断らないことがありますが）α，βは有限のある値に収束している，ということです．いま 1/(x - 1) は x → 1+0 で発散しているのでこれを使うべきではありません． 極端な例としては f(x) = x, g(x) = 1/x として x → 0+0 を考えてみるとよいでしょう．もちろん lim f(x) g(x) = lim x/x = lim 1 = 1 ですが，先に極限操作をしてから積をとると lim f(x) lim g(x) = 0 ∞ というよくわからない結果になってしまいます．注意しましょう． 極限をまじめに考えるのは（意外にも？）もっと面倒です．高校生でしたら実際にグラフを書いてお茶を濁すくらいが妥当じゃないかと感じます．（あるいは直観的に明らかと断言する．）下手に論理的に説明しようとすればするほどボロがでます．教科書に書いてない理由もきっとコレです．まじめに議論するのは大学に入ってからで（あるいはそんなことは気にしなくても）よいでしょう．気になって夜も眠れなくなってしまったら「ε-δ論法」でいろいろ調べて勉強してみてください． グラフの外形を描く，という本来の目的だけを考えれば，|x - 1| が十分小さいときは大体 y = 1/(x - 1) とグラフとよく似ている．|x - 1| が十分大きいときは x^2/(x - 1) = (x^2 + 1 - 1)/(x - 1) = {(x + 1)(x - 1) - 1}/(x - 1) = (x + 1) - 1/(x - 1) と変形すればわかるように大体 y = x + 1 のグラフとよく似ている．この2点が押さえてあれば十分だと思います．
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