素因数分解の問題の解き方を教えてください

質問

20の倍数で正の約数の個数が15個である自然数ｎを全てもとめよ。

という問題で、解説に、

ｎの約数は１５個（15＝3・5）であるので、ｎはｐ14（14乗）またはｐ２（２乗）ｑ４（4乗）で表せる。
また、ｎは２０＝2・2・5の倍数であるため、ｎ＝ｐ2ｑ４である。
したがってｎ＝２の2乗・５の4乗＝400または5の２乗・２の４乗＝2500である
答え　400、2500

とあります。

解説の意味がわかりません。

どなたか、解説を解説していただけませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.6

j-mayol · ベストアンサー

指数法則との整合性のためという説明がいいのかなぁ。

例えば　2＾2*2＾3＝2＾5　ってなりますよね
ということは累乗の数字の部分は2+3になっているわけです。
じゃあ　2＾2*2＾0は？って考えると　２＾（2+0）　になるはずですね
つまり 2^2*2^0=2^(2+0)=2^2
ということは2＾2に2＾0をかけても2＾2のまま、つまり2＾0＝１と考えられるわけです。

お礼

「2＾2*2＾3＝2＾5」

「2＾2*2＾0は？って考えると　２＾（2+0）　になる」

はい、そうなりますね。

「2^2*2^0=2^(2+0)=2^2」

「2＾2に2＾0をかけても2＾2のまま、つまり2＾0＝１」

ああ、ほんとですね！なんだか、ふしぎだけど確かにそうなりますね！

ありがとうございました。
最後までつきあってくださってうれしかったです！
またよろしくお願いします！

回答No.5

j-mayol

ある整数ｍを素因数分解したときにｍ＝a^x*b^y*c^zとなったとき
この整数の約数の個数は(x+1)*(y+1)*(z+1)個となる。

これについての補足をいただきましたので解説します。
例を挙げたほうが分かりやすいと思うので実際の数字を使って説明しますね。
例えば24は2＾3*3と素因数分解できます。
この約数というのは3回かけられている2のうち何個かと1回かけられている3のうちの何個かを取り出してきて掛け合わせたものになります。つまり2＾0,2＾1,2＾2,2＾3と3＾0,3＾1の組み合わせがすべての約数となるわけです。
2＾0*3＾0＝1
2＾0*3＾1＝3
2＾1*3＾0＝2
2＾1*3＾1＝6
2＾2*3＾0＝4
2＾2*3＾1＝12
2＾3*3＾0＝8
2＾3*3＾1＝24
念のため全部書き出してみました。
ということは約数の個数は組み合わせの考えから2＾0～2＾3までの4通りと3＾0～3＾1までの2通りを掛け合わせた8通りとなるわけです。
ポイントは0乗つまり1を含めて考えるので累乗の数字に1を加えるところですね。

お礼

「約数の個数は組み合わせの考えから2＾0～2＾3までの4通りと3＾0～3＾1までの2通りを掛け合わせた8通りとなるわけです。」

何度もありがとうございます。

組み合わせなんですね。納得です。

それにしても、

2＾0*3＾0＝1
0乗つまり1

ここの部分をはじめて知りました。どんな数字も0乗すると1なんですか？
すごく不思議！0じゃないんだ！

２乗は同じ数字を２回かけること、3乗は3回かけることだから、0乗は1回もかけないことで
0かと思いました。

すみません。もしかしてすごくばかなこと聞いてますか？

回答No.4

princelilac

>ｎは２０＝2・2・5の倍数
から考えていきます。

^の後の数字は指数(何乗するのかの数)です。

20 = 2^2 × 5^1 となります。
この指数に着目します。
約数の個数を求める時は、それぞれの指数に１を足して掛算します。
20 の場合は指数が 2 と 1 なので、それに 1 ずつ足した数、3 と 2 をかけます。
2 × 3 = 6 が約数の個数になります。なぜ指数に 1 を加えるかと言えば、指数の0が1を表し、1を約数の中に数えるためです。

これを参考に読んでください。ここまでは問題の解答とは無関係です。20を使って問題の要点を説明しているだけです。

nの約数が15個ということは、
指数に 1 ずつ足して掛け合わせたら 15 になるということなので、
元の指数は3 × 5 → 2 × 4 になります。…※　

20の倍数は 2^2 と 5の公倍数ということです。
2を何乗、5を何乗するのかが問題なのですが、
※の 2 と 4 を入れ替えた 2 通りの答えが出てきます。
つまり、( 2^2 ) × ( 5^4 ) と、( 2^4 ) × ( 5^2 ) が答えになります。

解説中の「ｐ14（14乗）…」は、2 か 5 のうち、どちらかを 14 乗した数を表すことになります。これは 20 の倍数にならないので排除するという解説がしてあるのです。

お礼

ありがとうございました。
やさしい言葉で書いてくださったので、わかりやすかったです。

「なぜ指数に 1 を加えるかと言えば、指数の0が1を表し、1を約数の中に数えるためです。」

の部分がまだよくわからなくて、ちょっと自分がいやになりかけてますが(笑)

回答No.3

Subaru_Hasegawa

小学生か中学生か、それを補足してください。
それによって模範解答が変わるかも。

補足

す、すみません。高校生です。

回答No.2

gohtraw

ある自然数を素因数分解したときに
ｐ＾ｋ＊ｑ＾ｌ＊・・・・　（ｋ，ｌはゼロ以上の整数）
となるとき、この自然数の約数の数は
（ｋ＋１）（ｌ＋１）・・・・
で与えられます。問題の場合これが１５になるわけで、１５を因数に分解すると
１５＊１
３＊５
なので、ｎは次のように表わされることになります
ｎ＝ｐ＾１４　または　ｎ＝ｐ＾２＊ｑ＾４
ｎが２０の倍数であることから、ｎ＝ｐ＾１４は除外され、
ｎ＝ｐ＾２＊ｑ＾４
であることが判ります。

お礼

回答ありがとうございました。

お一人目の方にもお聞きしたのですが、

ある自然数を素因数分解したときに
ｐ＾ｋ＊ｑ＾ｌ＊・・・・　（ｋ，ｌはゼロ以上の整数）
となるとき、この自然数の約数の数は
（ｋ＋１）（ｌ＋１）・・・・
で与えられます

の部分が、どうしてそうなるのかわかりません。
そういうものと覚えた方がいいのかもしれませんが。

回答No.1

j-mayol

まず説明前に ^ は累乗の記号　*はかけるの記号　です。

ある整数ｍを素因数分解したときにｍ＝a^x*b^y*c^zとなったとき
この整数の約数の個数は(x+1)*(y+1)*(z+1)個となる。
たとえば　24は　2^3*3　と因数分解できるため　約数の個数は(3+1)*(1+1)=8　の8個となります。

ｎの約数の個数は15個です。　１５となる正の整数の掛け算の組み合わせは　15*1　または3*5
上記のルールに当てはめると　nを素因数分解したとき　ｐ＾14*ｑ＾0　←　15*1の組み合わせから
となるか　ｐ＾2*ｑ＾4　←3*5の組み合わせからとなるかのいずれかである。
ここで問題の条件よりｎは20の倍数であるから、素因数分解したときｐ＾14*ｑ＾0　の形になることはありえない。したがってｎ＝ｐ＾2*ｑ＾4　の形に素因数分解できることが分かる。
ｎは20の倍数であるから整数ｎ’を用いて２＾２*５*ｎ’とあらわされるため、ｐ、ｑの値は2,5または5,2しかありえない。よって以下は解説の結論となる。

回りくどい説明だけど分かっていただけたでしょうか？

お礼

さっそく教えていただきありがとうございました！
すごくわかりやすかったです。

ただ、本当に数学が苦手なので、最初に書いていただいた部分がどうしてそうなるのかわかりません。

ある整数ｍを素因数分解したときにｍ＝a^x*b^y*c^zとなったとき
この整数の約数の個数は(x+1)*(y+1)*(z+1)個となる。

の部分です。
12とか24で試したら確かに約数がその数になるのですが、どうしてそれぞれ＋1をするのでしょうか。