確率の計算

質問

袋の中に赤玉１つと白玉が？個入っています。
白玉は100個(A)か、130個(B)か、150個(C)か、200個(D)です。
この袋から中を見ずに、ひとつずつ玉を取っては色を記録し、玉は中に戻します。

500回繰り返した所、赤5の白495でした。
この時の私の感覚は
Aである確率は35％位かなぁ
Bである確率は30％位かなぁ
Cである確率は20％位かなぁ
Dである確率は15％位かなぁ
と、思いました。

これは試行回数を繰り返せば繰り返す程、ABCDそれぞれの確率は顕著に離れて行くと思います。
例えば、101000回試して
赤1000、白100000なら
Aである確率は90％位かなぁ
Bである確率は7％位かなぁ
Cである確率は2％位かなぁ
Dである確率は1％位かなぁ
と、こんな感じに・・・

この確率を計算で求める事は出来るでしょうか？
もちろん私の感覚といくらかずれる事はわかっています。
私が考えるこんな感じの確率をきちんとした計算で求めたいです。

計算にはエクセルを使おうと思っています。
よろしくお願いいたします。

分かりにくい文章ですみません。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

> #2さん

赤が5回、白が495回の確率がそんなに小さいと思う？500C5を掛けないといけないよね。
同じものを掛けるので比としては同じですけど。

で同じ考えで赤1000，白100000の場合をエクセルで計算すると，誤差でうまく求まりません。
でも２項分布を正規分布で近似すれば計算できるようになります。
そうすれば
Aである確率は100％位かなぁ
となりますね。実際には100％ではなくて1-10^(-15)くらいなんだろうけど。

回答No.4

alice_44

ベイズ推定ってのがあってね。
条件 A の成立する確率が、予め P(A) と見込まれていたけど、
A 成立の下で確率 P(X|A) で起こる事象 X が観測された。この時、
X が成立したという条件下に A が成立していた確率 P(A|X) は、
P(AかつX) = P(A) P(X|A) = P(X) P(A|X) より、
P(A|X) = P(A) P(X|A) / P(X)。

質問の問題では、「500回繰り返した所、赤5の白495」を X として、
P(A|X) = P(A) P(X|A) / P(X)、
P(B|X) = P(B) P(X|B) / P(X)、
P(C|X) = P(C) P(X|C) / P(X)、
P(D|X) = P(D) P(X|D) / P(X)。

P(X) は、とりあえず判らないけど、
P(A|X) + P(B|X) + P(C|X) + P(D|X) = 1 だから、
比 P(A|X) : P(B|X) : P(C|X) : P(D|X) さえ解れば
P(A|X), P(B|X), P(C|X), P(D|X) は求められる。

P(X|A), P(X|B), P(X|C), P(X|D) は、それぞれ
A No.3 (No.2 じゃなく) の方法で計算できる。

あとは、事前確率分布 P(A), P(B), P(C), P(D) が問題だな。
これは問題設定で与えられてないといかんともしがたいんだが、
最初に A, B, C, D のどれだか何のヒントも無いのであれば、
P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/4 としてみる手はありそう。
ここの部分の主観性が、ベイズ推定の問題点ではあるんだけど。

回答No.2

koiprin

一つ玉をとっては袋に戻すと、1回1回の白か、赤かの確率は変わりません。
なので、白玉100個の場合は、赤の出る確率＝1/101、白の出る確率＝100/101。
この確率で、赤が5回、白が495回の確率を求めると、
{(1/101)^5}*{(100/101)^495}です。
この解が約0.000000000069％。
同様に
{(1/131)^5}*{(130/131)^495}≒0.000000000058％
{(1/151)^5}*{(150/151)^495}≒0.000000000048％
{(1/201)^5}*{(200/201)^495}≒0.000000000026％
となります。
これを比であらわせば、
Aである確率は34％位かなぁ
Bである確率は29％位かなぁ
Cである確率は24％位かなぁ
Dである確率は13％位かなぁ
となりました。

どうでしょう？

お礼

ありがとうございます
まさにこういう計算がしたかったです
またよろしくお願いいたします

回答No.1

garasunoringo

Aである確率は35％位かなぁ
Bである確率は30％位かなぁ
Cである確率は20％位かなぁ
Dである確率は15％位かなぁ

上記の考えに至った数学的根拠はありますか?

玉の総数がわからない以上、ABCDいずれも全く同じ確率で現れる可能性があります

実験を何万回も何兆回も繰り返しても、玉の総数がわからない限りABCDのどれなのかはわかりません