不定方程式の一般解を教えて頂きたいです。

質問

つぎの2問の不定方程式の一般解の求め方と答えが分からず困っています。
どなたか教えて頂けないでしょうか？

(1)119x－105y=217
(2)5x+3y=104

よろしくお願いします！

回答No.3

alice_44

型の如く、互除法でやってみましょうか。

(1) 119x - 105y = 217
まず、119 と 105 の最大公約数を、ユークリッドの互除法で求めます。
119 ÷ 105 は 1 あまり 14、
105 ÷ 14 は 7 あまり 7、
14 ÷ 7 は 2。割り切った 7 が、最大公約数です。
これらの式を、「あまり＝」の形で書くと、
7 = 105 - 14・7 ,
14 = 119 - 105・1
となります。中間のあまり 14 を代入消去すると、
7 = 105 - (119 - 105・1)・7 = 119・(-7) + 105・8 .
最大公約数 7 が、119 と 105 の整数倍の和で表せました。
これが、いわゆる「ベズーの等式」です。
217 ÷ 7 が割り切れて 31 になるので、
ベズーの等式の両辺を 31 倍すると、
119・(-7・31) + 105・(8・31) = 217
が得られます。この式と原式を辺々引き算すると
119(x + 217) - 105(y + 248) = 0
となり、
x + 217 : y + 248 = 105 : 119 = 15 : 17
と変形できます。ここから、一般解は、
x + 217 = 15k,
y + 248 = 17k　ただし k は整数
であることが判ります。
x = 15k - 217 = 15(k - 15) + 8,
y = 17k - 248 = 17(k - 15) + 7
として、k - 15 = n とでも置き換えたほうが
式は少し見やすいかもしれない。

(2) 5 x + 3 y = 104
上記と同様に互除法でやってもよいが、パッと見だけでも
5・(-1) + 3・2 = 1　(1 は 5 と 3 の最大公約数)
は、気づきますね。
両辺を 104 倍して　5・(-1・104) + 3・(2・104) = 104、
原式と辺々引き算して　5(x + 104) + 3(y - 208) = 0
すなわち　x + 104 : y - 208 = -3 : 5　です。
一般解は、
x + 104 = -3k,
y - 208 = 5k　ただし k は整数
と判ります。これも、
x = -3k - 104 = -3(k + 35) + 1,
y = 5k + 208 = 5(k + 35) + 33
として、k + 35 = n とでも置き換えたほうが
見やすいかな。
x = -3(k + 41) + 19,
y = 5(k + 41) + 3
でも、構わないが。

回答No.2

spring135

(1)119x－105y=217　　　　　(1)

こけおどしですね。両辺を7で割って

17x-15y=31　　　　　　　　　(2)

15y=17x-31=15x-30+2x-1

このように変形すると

2x-1=15z (3)

となる整数zの存在が求められます。

これを満たす整数の例はすぐ見つかって

x=8, z=1

つまり

2*8-1=15*1　　　(4)

(3)-(4)を作ると分かるように

2(x-8)=15(z-1)

これより整数pを用いてx,zは

x-8=15p, z-1=2p

で表される。

すなわち

x=15p+8, z=2p+1

慣れてくると(3)からすぐこの式は導ける。

(2)へxを代入して

y=17p+7

以上より任意の整数pを用いて (1)の解は

x=15p+8

y=17p+7

で与えられる。

検算：p=0,1,2...としてx,yを求め、これらが(1)を満たすことを確認できる。

(2)5x+3y=104 (1)

5x=104-3y=100-5y+4+2y

100-5ｙは5で割れるので4+2yが5でわれる必要がある。

つまり

4+2y=5z　　　　　(2)

を満たす整数ｚが存在しなけれrばならない。

これを満たす例は簡単で例えば

y=3, z=2

したがって

4+2*3=5*2　　　　(3)

(2)-(3)より

2(y-3)=5(z-2)

よって

y=5p+3, z=2p+2

(1)に代入して

x=19-3p

検算なんて自信があればやらなくてよい。

そうでない場合は最も簡単なれいでよい。すなわちp=0

x=19, y=3

(1)を満たすだろうか。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

式変形して、直線の式にした時に通る格子点を拾って行けばいいだけじゃないの？