【至急】空間ベクトルの問題

質問

明日までの宿題なのですが、答えが分からず不安です
解答（解法）を書いて頂けると助かります・・・！
どうぞよろしくおねがいします<m(__)m>

四面体OABCがあり、

OA=OC=AC=1, OB=2,
BC=√3, ∠AOB=90°

である。

また、三角形OABを含む平面をαとし、
点Cを通りαに垂直な直線とαの交点をＨとする。

さらに、OAベクトル=aベクトル, ＯＢベクトル=ｂベクトル, ＯＣベクトル=ｃベクトル　とする。

（１）内積　ａベクトル・ｂベクトル　、ｂベクトル・ｃベクトル、　ｃベクトル・ａベクトル　の値を求めよ。

（２）OHベクトルをaベクトル、ｂベクトルを用いて表せ。また、線分ＣＨの長さを求めよ。

回答No.1

kesexyoki

面倒なので、aベクトルのことを単にaのように書きますね。

（1）
a⊥b⇒a・b=0
△OACは正三角形ですので、∠AOC=60°よりc・a=1×1×cos60°=1/2
△OBCは3辺が分かっているので、余弦定理からcos∠BOC=1/2つまり∠BOC=60°です。
（因みに1:2:√3からも60°が出せます。）
よってb・c=1×2×cos60°=1

（2）
CH⊥αから、CH⊥a、CH⊥bが成り立ちます。
よって、CH・a=0、CH・b=0ですね。OH=sa+tbとでもおくと、（sとtはベクトルではありませんよ。）
CH=OH-OC=sa+tb-cですから、
CH・a=s|a|^2+ta・b-a・c、CH・b=sa・b+t|b|^2-b・c（展開の要領。ただし、2乗は大きさの2乗。）
あとは(1)の値、及び長さを代入するとs=1/2、t=1/4が出てきますので、
OH=(1/2)a+(1/4)b

CH=(1/2)a+(1/4)b-cこれを平方して計算してください。

（2）はとても大事です。
垂直・・・内積が0（2行目）
4点OABHが同一平面上・・・OH=sOA+tOB（2行目）
基点が揃っていない・・・AB=OB-OAを利用して基点をそろえる（3行目）
ベクトルを含む式の展開方法（4行目）
大きさ・・・2乗して求める
いずれも、ベクトルの問題では定番の事柄です。逆にこの5つの事項をしっかりマスターしていれば、ベクトルの問題で難儀することはないと思います。（あと知っておくべきことは、3点1直線上の成立条件くらいです。）

すいません。時間の関係上、今日はここまでにさせていただきます。
疑問点が残っているようなら、また質問してください。