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座標
平面上に2点A(-1、1)、B(3、5)がある。x軸上に点Pをとり、点Pを∠APBが最大になるようにする点としたら、その位置はどこになるか。 この問題の解説を教えてください・・
- bandoueiji
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方針はすぐ立ちますが,計算がやや面倒です. P(x,0)とおきます.vecAP=(x+1,-1),vecBP=(x-3,-5)ですから, cos∠APB=vecAP・vecBP/AP・BP =(x^2-2x+2)/{√(x^2+2x+2)√(x^2-6x+34)} log(cos∠APB) =log(x^2-2x+2)-(1/2)log(x^2+2x+2)-(1/2)log(x^2-6x+34) {d(cos∠APB)/dx}/cos∠APB =(2x-2)/(x^2-2x+2)-(x-1)/(x^2-2x+2)-(x-3)/(x^2-6x+34) これを整理すると d(cos∠APB)/dx =16(x+2)(x^2+4x-6)/{{√(x^2+2x+2)√(x^2-6x+34)}}^3 d(cos∠APB)/dxの符号は次の多項式に一致します. (x+2)(x^2+4x-6) =(x+2+√10)(x+2)(x+2-√10) x<-2-√10,-2<x<-2+√10のときdcos∠APB/dx<0 -2-√10<x<-2,-2+√10<xのときdcos∠APB/dx>0 0≦∠APB≦πより∠APBとcos∠APBは1対1に対応し,cos∠APBは単調減少するので, x<-2-√10,-2<x<-2+√10のとき∠APB増加 -2-√10<x<-2,-2+√10<xのとき∠APB減少 x→±∞のときcos∠APB→x^2/{√(x^2)√(x^2)}=1,∠APB→0 図にはy=cos∠APBと∠APBを同時に描いています.これから x=-2+√10のとき∠APBは最大 になります.
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- alice_44
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点 P の座標を (p,0) と置くと、 △APB での余弦定理を使って、 cos∠APB を p の式で表すことができる。 ∠APB が最大なのは、cos∠APB が最小のとき。 そうなる p を求めればよい。
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お礼
グラフまでつけていただきありがとうございます。