積分の計算について

質問

ある積分を計算するときに、式の途中で、x=log(u/v) ,y=log((1-v)/(1-u))　と変数の変換をする必要があり、何度か計算を試みたのですが、なかなか上手くいきません。
解答には、このように変数変換したとき、(du/u)(dv/(1-v))= dxdy/(e^(x+y)-1)となると書かれているのですが、上の変数変換の関係式から、どうすれば下の関係式を導くことができますか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No1です。

ANo1の補足について

>まさか解答が間違っているとは・・・
>ちなみに、どのようにして、それがわかるのですか？

(du/u)(dv/(1-v))= dxdy/(e^(x+y)-1)
が無条件には成り立たないからです。
対数の真数条件から uv>0, (1-u)(1-v)>0　でなければいけません((0<u<1,0<v<1),(u>1,v>1),(u<0,v<0))が
更に「v<u」の条件が追加されないと成り立ちません。

以下の計算過程を書きますので確認ください。

dxdy=|J|dudv
J=∂x/∂u・∂y/∂v - ∂x/∂v・∂y/∂u
真数条件:uv>0,(1-u)(1-v)>0から
|J|=(|v-u|)/(uv(1-u)(1-v))

(右辺)=dxdy/{e^(x+y)-1}
=|J|/{e^(log((u/v)((1-v)/(1-u)))-1} dudv

公式：e^log(b)=bを適用して

=(|v-u|)/(uv(1-u)(1-v))/{((u/v)((1-v)/(1-u)))-1} dudv
=(|v-u|)/(u*(v-1)*(v-u)) dudv
=-(|v-u|)/(v-u) (du/u)(dv/(1-v))

=(du/u)(dv/(1-v))=(左辺) (v<uの時)
=-(du/u)(dv/(1-v))=-(左辺) (v>uの時)

となります。

お礼

ご返事を頂き、有り難うございます。
早速確認してみます！！

回答No.1

info22_

>(du/u)(dv/(1-v))= dxdy/(e^(x+y)-1)となると書かれている

解答が間違っているので、この式は導けません。

お礼

ご返事を頂き、有り難うございます。

まさか解答が間違っているとは・・・

ちなみに、どのようにして、それがわかるのですか？