変数変換を使う2重積分の問題を教えてください。

質問

この問題で困っています。

問 次の2重積分を指定された変数変換を使って計算しなさい
∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy、
D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
x=u(1-v)、y=uv
という問題です。
お願いします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

ヤコビアン|J|=|(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)|
=|(1-v)u-uv|=u|(1-2v)|
dxdy=|J|dudv=u|(1-2v)|dudv
x-y=u(1-2v), x+y=u
I=∬[D] e^((x-y)/(x+y)) dxdy
=∬[E] e^(1-2v) u|(1-2v)|dudv,E={(u,v):1≦u≦2,0≦v≦1}
=∫[1,2] udu*∫[0,1] |(1-2v)|e^(1-2v)dv
={(4-1)/2}
　*{∫[0,1/2] (1-2v)e^(1-2v)dv+∫[1/2,1](2v-1)e^(1-2v)dv}
1-2v=tとおくと　-2dv=dt
=(3/2){∫[1,0] te^t dt/(-2)+∫[0,-1] -te^t dt/(-2)}
=(3/4){∫[0,1] te^t dt-∫[-1,0] te^t dt}
=(3/4){[(t-1)e^t][0,1]-[(t-1)e^t][-1,0]}
=(3/4){2-(2/e)}
=(3/2)(e-1)/e

お礼

ありがとうございます

回答No.2

Ae610

当方が計算すると・・

∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy　　　D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
= ∫[0,2]{e^(1-2v)}dv・∫[0,2]{u}du－∫[0,1]{e^(1-2v)}dv・∫[0,1]{u}du
= e - 1/e^3 - (1/4)・(e - 1/e)
= (3/4)・e + 1/4e - 1/e^3

・・・となった。
x=u(1-v)、y=uvのヤコビアン
　|∂(x,y)/∂(u,v)| = u

お礼

たすかります