数学の問題を教えて下さい。

質問

(1)△ABCの辺AC,AB上にそれぞれ点M,NをAM：MC＝１：１、AN：NB＝１：２となるようにとる。さらにBMとCNの交点をLとする。このとき、BL：BM、CL：CNの値を求めよ。

（２）∠AOB＝９０°である直角三角形OABにおいて、OAベクトル＝aベクトル、OBベクトル＝bベクトルとおく。絶対値aベクトル＝３、絶対値bベクトル＝４で、頂Oから斜辺ABに垂線を引き、その交点をHとするとき、OHベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

（１）
＞メネラウスの定理により、(NB/AN)*(AC/MC)*(LM/BL)=1だから
(2/1)*(2/1)*(LM/BL)=1、(LM/BL)=1/4
よって、BL:BM=4:5
同定理より、(MC/AM)*(AB/NB)*(LN/CL)=1だから
(1/1)*(3/2)*(LN/CL)=1、(LN/CL)=2/3、
よって、CL:CN=3:5・・・答
（２）＞
△OABと△OHBは相似なのでOB/BH=AB/OB
AB=√(OA^2+OB^2)=√(3^2+4^2)=√25=5だからOB/BH=5/4
BH=4*OB/5=4*4/5=16/5、
↑OH=↑OB+(BH/AB)*↑BA=↑b+(16/5)/5*↑BA=↑b+(16/25)*↑BA
↑BA=↑OA-↑OB=↑a-↑bだから
↑OH=↑b+(16/25)*(↑a-↑b)=(16/25)↑a+(9/25)↑b・・・答

お礼

ありがとうございました。メネラウスの定理がありましたね。
早速、自分でも解いてみます。

回答No.3

ereserve67

ANo.1です．お礼について．

[2]少し詳しく回答しましょう．

（★）|a|=OA=3,|b|=OB=4,∠AOB=90°⇔OA⊥OB⇔OA・OB=a・b=0

です．

HはAB上にあるからAH=tABとおくとOH-OA=t(OB-OA),OH-a=t(b-a)

（☆）OH=(1-t)a+tb

となります．OH⊥ABよりOH・AB=0

OH・AB={(1-t)a+tb}・(b-a)
=(1-t)a・b-(1-t)a・a+tb・b-ta・b=0

ここで★より

-(1-t)|a|^2+t|b|^2=0
(|a|^2+|b|^2)t=|a|^2
t=|a|^2/(|a|^2+|b|^2)=9/25

これを☆に代入し

OH=16a/25+9b/25

となります．

お礼

解答ありがとうございます。
とても分かりやすい解答事例です。

回答No.1

ereserve67

ベクトル記号省略します．

[1]AB=b,AC=cとおくと，AM=c/2,AN=b/3．

LはBM上にあるので

AL=(1-s)AB+sAM

=(1-s)b+sc/2(1)

LはCN上にあるので

AL=(1-t)AC+tAN

=(1-t)c+tb/3(2)

(1)，(2)においてb,cは0でない平行でないから

1-s=t/3,s/2=1-t

s=4/5,t=3/5

よって

BL:LM=s:(1-s)=4:1

BL:BM=4:5（答）

CL:LN=t:(1-t)=3:2

CL:CN=3:5（答）

[2]|a|=3,|b|=4,a・b=0である．

HはAB上にあるから

（☆）OH=(1-t)a+tb

とおける．OH⊥ABより

0=OH・AB={(1-t)a+tb}・(b-a)

=-(1-t)|a|^2+t|b|^2

=(|a|^2+|b|^2)t-|a|^2

t=|a|^2/(|a|^2+|b|^2)

=9/(9+16)=9/25

☆に代入して

OH=(16/25)a+(9/25)b（答）

お礼

ありがとうございます。
（１）は、こちらで解いたのと同じになりましたが
（２）は、どうも難しくて解答をよく見て解いてみます。