確率の問題で困っています

質問

こんにちは。

確率と統計の問題で苦戦しています。

問題は
当たる確率がp(0<p<1)のくじをn回引いたとき、あたりの出る回数を確率変数Xとする。
Xの期待値と分散、標準偏差を求めなさい。また、分散が（ｐの関数と見たとき）最大になるｐの値を求めなさい。ただし、くじが当たる確率は互いに独立であるとする。
なお、i回目に引いたくじの結果を確率変数Xiで表すものとし、当たりであればXi=1、はずれであればXi=0とすれば、X=X1+X2+・・・+Xnである。

というものです。
毎回行き詰ってしまうので、模範解答をよろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1さんが答えは導いています．しかし，これを

>i回目に引いたくじの結果を確率変数Xiで表すものとし、当たりであればXi=1、はずれであればXi=0とすれば、X=X1+X2+・・・>+Xnである。

として導きたければ以下のようにします．確率変数Yの期待値と分散をそれぞれ E(X)，V(X)とかくと

V(Y)=E(X^2)-{E(X)}^2

Yの標準偏差は√V(X)

です．

i=1,2,・・・,nとして

E(X_i)=1・p+0・(1-p)=p

E(X_i^2)=1^2・p+0^2・(1-p)=p

V(X_i)=E(X_i^2)-{E(X_i)}^2=p-p^2=p(1-p)

よって，期待値の性質から

E(X)=E(X_1+X_2+・・・+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+・・・+E(X_n)=p+p+・・・・+p=np （答）

X_1,X_2,・・・X_nは独立な確率変数だから，

V(X)=V(X_1+X_2+・・・+X_n)=V(X_1)+V(X_2)+・・・+V(X_n)=p(1-p)+p(1-p)+・・・・+p(1-p)=np(1-p)　（答）

√V(X)=√{np(1-p)}　（答）

分散V(X)=np(1-p)=n{-(p-1/2)^2+1/4}はp=1/2（答）のとき最大となる．

※E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)は常に成り立ちますが，V(Y+Z)=V(Y)+V(Z)はY,Zが独立な確率変数のとき成り立ちます．

お礼

ご回答ありがとうございます。
確率や統計ははじめたばかりで、参考資料とにらめっこしながらやっています。
大変助かりました。

回答No.1

yyssaa

＞模範解答かどうかわかりませんが？
1-p=qとすると、n回引いたときにX回当たる確率は
nCXp^Xq^(n-X)
その期待値は定義により∑(X=0→n)nCX{X*p^Xq^(n-X)}
ここで(p+q)^n=∑(X=0→n)nCXp^Xq^(n-X)の両辺をpで
偏微分すると
n(p+q)^(n-1)=∑(X=0→n)nCX{X*p^(X-1)q^(n-X)}
この両辺にpをかけると
np(p+q)^(n-1)=∑(X=0→n)nCX{X*p^Xq^(n-X)}
p+q=1だから
np=∑(X=0→n)nCX{X*p^Xq^(n-X)}
この右辺はXの期待値なので、Xの期待値=np・・・答え
Xの分散をσ^2とすると定義により
σ^2=(X-np)^2の期待値=(X^2-2npX+n^2p^2)の期待値
X^2の期待値=∑(X=0→n)nCX{X^2*p^Xq^(n-X)}
上で得た
np(p+q)^(n-1)=∑(X=0→n)nCX{X*p^Xq^(n-X)}の両辺を
pで偏微分すると
n(p+q)^(n-1)+np(n-1)(p+q)^(n-2)
=∑(X=0→n)nCX{X^2*p^(X-1)q^(n-X)}
この両辺にpをかけると
np(p+q)^(n-1)+n(n-1)p^2(p+q)^(n-2)
=∑(X=0→n)nCX{X^2*p^Xq^(n-X)}
この右辺はX^2の期待値なので、p+q=1から
X^2の期待値=np+n(n-1)p^2・・・(ア)
-2npXの期待値=-2np*Xの期待値=-2n^2p^2・・・(イ)
n^2p^2の期待値=n^2p^2・・・(ウ)
よってσ^2=(ア)+(イ)+(ウ)=np+n^2p^2-np^2-2n^2p^2+n^2p^2
=np-np^2=np(1-p)・・・答え
標準偏差=√σ^2=√{np(1-p)}・・・答え
σ^2=-n(p^2-p)=-n(p-1/2)^2+n/4
n＞0なのでσ^2のグラフは、縦軸をσ^2、横軸をpとすると
上に凸(∩のような形)の二次関数のグラフとなり、p=1/2で
σ^2は極大(n/4)となる。よって、
分散が最大になるｐの値は1/2・・・答え

お礼

ご回答ありがとうございます！
確率や統計を始めたばかりですので大変助かります。