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2次不等式
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- yyssaa
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((問)) a<0のとき、2次不等式 f(x)>0 が -2≦x≦1 を満たす全ての実数xについて成り立つときのaの値の範囲を求めると何か? f(x)=ax^2+2ax+a^2-2=a(x+1)^2+a^2-a-2 a<0なのでf(x)のグラフは、上に凸(∩のような形)の 二次曲線(対称軸はx=-1)で、x=-1でf(x)は極大となる (極大値=f(-1)=a^2-a-2)。 -2≦x≦1でf(x)>0となるためには、グラフの形から、 -2≦x≦1におけるf(x)の最小値がx=1のときのf(1) なので、f(1)>0であればよい。この条件を満たすaの 値はf(1)=a+2a+a^2-2=a^2+3a-2>0から a^2+3a-2=0を解いてa={-3±√(9+8)}/2=(-3±√17)/2 a<(-3-√17)/2及びa>(-3+√17)/2となるが、 a<0なので、a>(-3+√17)/2は対象外となり、 a<(-3-√17)/2・・・答え ((問)) 2次不等式 f(x)>0 が -2≦x≦1 を満たす全ての実数xについて成り立つときのaの値の範囲を求めると何か? a<0の場合は上記の通りなので、a>0について、 f(x)のグラフは、下に凸(∪のような形)の二次曲線 (対称軸はx=-1)で、x=-1でf(x)は極小となる(極小値 =f(-1)=a^2-a-2)。ということは-2≦x≦1でのf(x)の 最小値がf(-1)=a^2-a-2。従ってこの範囲でf(x)>0と なるためにはf(-1)=a^2-a-2=(a+1)(a-2)>0であれば よく、a<-1及びa>2となるが、a>0なのでa<-1は 対象外となり、a>2となる。 よってこの問の答えは、a<(-3-√17)/2及びa>2。
- yyssaa
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aを含む式が無いが?
補足
f(x)=ax2+2ax+a2-2 (a≠0)についての問題です。 書き忘れていました。すみませんでした。
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詳しく説明していただき、ありがとうございます。 役に立ちました(^^)♪