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右優集合とは？微分方程式論の現代数学講座11から学ぶ
- 右優集合とは、微分方程式（２．５）に対して、ｎ+1 次元の集合Dに含まれる集合Eがあり、Eの点から右（または左）へ出る解曲線がDに含まれる限り、それがEにも含まれることを指します。
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- alice_44
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- alice_44
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どうも「右へ出る解曲線」の定義ガハッキリしなくて、 微分方程式の式形によっては解釈困難になりそうな予感 もするのだけれど、dy/dx=0 の場合に限っては 点 (a,b) から右へ出る解曲線は、{ (x,y) | x≧a, y=b } ←[*] で良いような気はします。 そうだとして、 それが D に含まれるならば必ず E にも含まれているような D の部分集合 E はといえば… [*] の形の解曲線でが D に含まれるのは、C または F に 含まれる場合です。それが必ず E に含まれるのですから、 E は C および F を全て含んでいなければなりません。 また、そのとき、E は解曲線を含みます。 よって、D の部分集合 E が dy/dx=0 の「右優集合」 になるのは、E⊇C∪F の場合でしょう。 質問文中の「A, B, D, C の任意の和集合」というのは、 おそらく、A, B, C, F の任意の和集合 の書き違いでしょうが、 E は C, F を全て含まねばならないし、A, B については A, B まるごとでなくても、その任意の部分集合を含むことが できそうです。
補足
EのA点があったら、 Dの点でAの右にあるものを、すべて集めればよいのでしょうか。
- alice_44
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「右へ出る解曲線」の右端はどうなってる？ そこの規約によって答えは異なると思う。
補足
解曲線の右端の規定は見つかりません。
- alice_44
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Eの点から「右へ出る」解曲線 …て、何や？
補足
y=φ(x)なる解が初期条件y(a)=bを満足しているならば、解曲線y=φ(x)は点(a,b)を通ることになる。 もし、aがφ(x)の定義されている区間の左(または右）の端である場合には、y=φ(x)は、点(a,b)から右(または左）に出る解曲線とよばれる。 のだそうです。 ｐ43 より。
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