数学I・Ａの解き方を教えてください

質問

解き方が分かりません！
誰か教えてください。
お願いします。

＜Ｐ.Ｓ＞
答えは[]で囲ってあります。

問い
　半径５の円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝１，ＡＣ＝８，∠ＡＣＤ＝９０°であるとする。
　このとき、
　 　sin∠ABC ＝ [ ４/５ ]， 　 BC ＝ [ （－３ + １２√１１ ）/５ ]
　 である。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞問い
＞　半径５の円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝１，ＡＣ＝８，∠ＡＣＤ＝９０°であるとする。
∠ＡＣＤ＝９０°だから、△ＡＣＤは直角三角形。
これから、∠ＡＤＣは鋭角。（０°＜∠ＡＤＣ＜９０°）
四角形ＡＢＣＤは、円に内接するから、∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°より、
∠ＡＢＣは鈍角。（９０°＜∠ＡＢＣ＜１８０°）
△ＡＢＣの外接円の半径Ｒ＝５だから、正弦定理より
ＡＣ／sin∠ＡＢＣ＝２×５より、sin∠ＡＢＣ＝８／２×５＝４／５
cos^2∠ＡＢＣ＝１－（４／５）^2＝９／２５
９０°＜∠ＡＢＣ＜１８０°だから、cos∠ＡＢＣ＝－３／５
ＢＣ＝ｘとおくと、余弦定理より、
cos∠ＡＢＣ＝（ＡＢ^2＋ＢＣ^2－ＡＣ^2）／２×ＡＢ×ＢＣから、
－３／５＝（１^2＋ｘ^2－８^2）／２×１×ｘ＝（ｘ^2－６３）／２ｘ
－３×２ｘ＝５（ｘ^2－６３）
５ｘ^2＋６ｘ－３１５＝０を解くと、
ｘ＞０だから、ｘ＝（－３＋１２√１１）／５
よって、ＢＣ＝（－３＋１２√１１）／５

図を描いて確認してみて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

htms42

幾何的に考えてみます。

△ＡＣＤはＡＤが直径となる直角三角形
ＡＤ＝１０、ＡＣ＝８なのでＣＤ＝６　∴△ＡＣＤは３：４：５の直角三角形
四角形は円に内接しているので∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ=１８０°
sin∠ABC＝sin∠ADC=8/10＝4/5

ＡＢの延長線上にＣから垂線ＣＨを下ろす
∠ＣＢＨ＝∠ＡＤＣなので　△ＣＢＨ∽△ＡＤＣ
ＢＣ＝ｘ　とすると
ＢＨ＝３ｘ／５、ＣＨ＝４ｘ／５

△ＡＨＣは直角三角形なので
ＡＨ^2＋ＣＨ^2＝ＡＣ^2＝６４

これでｘについての２次方程式が出てきますので解くことができます。
ｘ^2＋(6/5)ｘ－63＝０

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

suko22

まず簡単な図を描いておいてください（∠ＡＣＤ＝９０°より線分ＡＤが直径になるのでそのような図）。

△ＡＢＣは円に内接しているので正弦定理より、
8/sin∠ＡＢＣ＝2*5（∵Ｒ＝5より）

sin∠ＡＢＣ＝8/10＝4/5

△ＡＢＣで余弦定理を使います。ＢＣ＝ｘとします。
8＾2＝ｘ＾2+1＾2-2*1*ｘ*cos∠ＡＢＣ

　cos∠ＡＢＣを求めます。
　sin^2∠ＡＢＣ+cos＾2∠ＡＢＣ＝1より
　（4/5）＾2+cos^2∠ＡＢＣ＝1
　　cos∠ＡＢＣ＝±3/5
　ここで∠ＡＢＣは図より明らかに90°＜∠ＡＢＣ＜180°（∠ＡＣＤ＝90°ですので、線分ＡＤが直径になります。このような四角形を描くとわかると思います。もし簡単に式で表したければ、点ＢとＤを結んでください。すると⌒ＡＤに対する円周角なので∠ＡＢＤ＝90°になります。よって、∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ+∠ＤＢＣ＝90°+∠ＤＢＣとなり、∠ＡＢＣは90°より大きい角度であることがいえます。）
　　cos∠ＡＢＣ＝-3/5

元の式に代入して、
64＝ｘ＾2+1-2ｘ*（-3/5）
5ｘ＾2+6ｘ-315＝0
ｘ＝[-3±√｛9-5*（-315｝]/5＝（-3±12√11）/5
ｘ＞0よりｘ＝（-3+12√11）/5

お礼

回答ありがとうございました。