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２次元正規分布について質問です。
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１次元正規分布については、多分、ガウスの誤差分布の分析の過程で発見されたものでしょう。 ２次元正規分布について、演繹的に、というのがお好みなら、ANo.2の（２）の性質 (A) X と Y の任意の一次結合が１次元正規分布になる から導くことができます（なお、周辺分布が１次元正規分布になる、というだけでは、条件が緩すぎて、２次元正規分布を導けません）。 ２次元正規分布を定義しようとするとき、１次元正規分布の e^(-((x-m)/σ)^2) における ((x-m)/σ)^2 の部分を正定値２次型式に置き換えてみよう、というのは、だれでも思いつくことだと思います。いま、仮に、こうして得られる関数を g(x,y) と置くことにします。 g(x,y) は、結果的に２次元正規分布の密度になるのですが、まだ２次元正規分布が定義されていないという前提で、「２次元正規分布」という言葉を使わないことにします。 （ X と Y の結合分布の密度が g(x,y) になることの概略証明） 話を簡単にするため、X と Y は、ともに平均が 0 で分散が 1 とする（そうでない場合は、適当に変数変換して、このような場合に帰着できる）。 a とb を任意の実数とするとき、(A) により、aX+bY は、平均が 0 で、分散が a^2+b^2+2abγ の正規分布に従う（γは、X と Y の共分散）。よって、その特性関数 φ(t) を計算すると、 φ(t) = E(exp(it(aX+bY))) = exp(-(t^2/2)(a^2+b^2+2abγ)) となる（ E() は平均を表す）。 t=1 と置いて、 (B) E(exp(i (aX+bY))) = exp(-(1/2)(a^2+b^2+2abγ)) を得る。 a と b が任意だから、(B)は、a と b の２変数関数としての恒等式である。さらに、(B)の左辺は、X と Y の結合分布の特性関数の定義式である。一方で、(B)の右辺は、g(x,y) を密度に持つ分布の特性関数に他ならない（計算は省略）。分布と特性関数との対応が１対１であることから、X と Y の結合分布が g(x,y) を密度に持つことが分かる。
その他の回答 (5)
ANo.5補足 > 正規分布は結局、二項分布の極限あるいは誤差分布の解析のどちらから定義づけられたのでしょうか。 そう言われたら、#2さんの回答を繰り返すしかありません。 歴史的なことは知らないので推測ですが、ANo.2に挙げられている例やガウスの誤差分布の例から、正規分布が重要であるのでその分布を正規分布（normal distribution）と呼ぶことにしたのでしょう。
http://teenaka.at.webry.info/201207/article_19.html のような方法で、二次元正規分布の確率密度関数を導出したいのであれば、三項分布の確率関数 f(x, y) = (n!/(x! y! (n-x-y)!)) p^x q^y (1-p-q)^(n-x-y) が、n→∞のときどうなるのか考えてみては如何でしょうか。 あるいは http://teenaka.at.webry.info/200703/article_10.html を二次元に拡張して、 「xの誤差はn個の根源誤差の和からなり、各根源誤差は独立に確率1/2で+εか-εの値を取り、yの誤差も同様にn個の根源誤差の和からなり、各根源誤差は独立に確率1/2で+δか-δの値を取る。ただし、xの誤差が+εでyの誤差が+δの値を取る確率はc(0<c<1/2)である」 として考えた方が分かりやすいかもしれませんが、これから二次元正規分布の確率密度関数へと導くのはかなり面倒だと思います。
- ereserve67
- ベストアンサー率58% (417/708)
結果というのは定義ではないですか． 二次元分布f(x_1,x_2)(σ_1,σ_2,ρを含むx_1,x_2の式)から周辺分布f_i(x_i)(i=1,2)を導くと，ガウス積分の公式 ∫e^{-x^2}dx=√π によって例えば f_1(x_1)=∫f(x_1,x_2)dx_2=(標準偏差σ平均0の1次元正規分布密度関数) が導かれます．
お礼
回答ありがとうございます。
- ramayana
- ベストアンサー率75% (215/285)
導出って何のことでしょうか？そういう密度を持つ分布のことを「２次元正規分布」と定義しているだけです。 その定義がどうして都合がよいのか、ということなら、いくつか考え方があるでしょう。２つ例を挙げます。 （１）中心極限定理により、一定の条件の下、多くの２次元分布が２次元正規分布に収束する。 （２）確率変数XとYの任意の一次結合（適当な実数aとbによりaX+bYと表される確率変数）が１次元正規分布になるとき、XとYの結合分布は２次元正規分布になる。
お礼
回答ありがとうございます。
補足
例えば正規分布は以下のように導出があるようですが。 http://teenaka.at.webry.info/200604/article_7.html http://teenaka.at.webry.info/201207/article_19.html このように演繹的に導かれたのではないのでしょうか。そうでなければいきなりexp(-x^2/2)という関数がでてくるのは不自然におもえるのですが。 2次元正規分布ないしn次元正規分布にも、同様な導出法があるのかとおもいまして。相関係数に依存する密度関数であることは予想がつきますが、必要条件として、 (1)規格化の条件 (2)周辺分布が正規分布に従う この二つからだけではなぜあのような形の密度関数に定義？されたのかは納得できません。
- おみみ こみみ（@dreamhope-ok）
- ベストアンサー率26% (147/561)
二項分布、ポアゾン分布でもでてきませんか？ 今の統計学はここからの考え方がもとになっているはずですが？
お礼
回答ありがとうございます。
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