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線形代数の問題
テスト前の最後の講義で 「2次曲線x^2+hxy+y^2-5x-7y+6=0を標準形に変換し、どんな曲線を表すかを述べよ」 という問題をやったのですが、講師が説明もしないまま講義が終わってしまいました。 友達に聞いたところ、場合分けをすればいいと言われたのですがよくわかりません。 この問題の解き方を教えて下さい。 お願いします。
- gurizuri4649
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(1)h≠2のとき 曲線をx軸方向にa、y軸方向にb平行移動すると、 (x-a)^2+h(x-a)(y-b)+(y-b)^2-5(x-a)-7(y-b)+6=0・・・※１ となる。 xの係数=-2a-hb-5=0 yの係数=-ha-2b-7=0 を解くと、 a=(-7h+10)/(h^2-4) b=(-5h+14)/(h^2-4) となる。（注：標準化するのに邪魔なxとyを消してしまおうという発想です） このaとbを※１に代入して整理すると、 x^2+hxy+y^2=-(3h-10)(2h-5)/(h^2-4)・・・※２ となる。（この計算は結構大変です） 左辺をx、yに関する２次形式と見ると、係数行列Aは、 1 h/2 A= h/2 1 となり、行列Aの固有値及び対応する固有ベクトルは、 固有値=1+h/2、固有ベクトル=(1,1) 固有値=1-h/2、固有ベクトル=(1,-1) となるから、直交行列U √2/2 √2/2 U= √2/2 -√2/2 によってAは対角化され、 1+h/2 0 U^(-1)AU= 0 1-h/2 となる。 よって、※２は、以下の標準形に直すことができる。 (1+h/2)x^2+(1-h/2)y^2=-(3h-10)(2h-5)/(h^2-4) ここまでくれば、大丈夫だと思います。後は、x^2、y^2、右辺の値と符号によって（つまり、hの値の範囲によって）円、楕円、双曲線になります。 (2)h=±2のとき 計算は省略しますが、曲線を原点を中心として４５°回転させれば、放物線になることがわかります。
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お礼
ありがとうございました！大変よく分かりました！ テストまで後１０時間ほどですが頑張ります！