行列

質問

行列で、実対称行列で、成分が0か１の行列は、固有値-1/2を持たないことの証明をどなたかお願いします。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

そうですね。私も少々気になっていました。>#3

ところで、もう少しシンプルな証明を思いつきました。F(X)とr/sを#2と同じとします。

F(X) = X^n + a(n-1)X^(n-1) + ・・・+ a(1)X + a(0)

とする。a(n-1)、・・・、a(0)は、整数である。
F(r/s)=0より、

(r/s)^n + a(n-1)(r/s)^(n-1) + ・・・+ a(1)(r/s) + a(0) = 0
(r/s)^n = -a(n-1)(r/s)^(n-1) - ・・・- a(1)(r/s) - a(0)

両辺にs^nをかけて

r^n = -a(n-1)r^(n-1)s - ・・・- a(1)rs^(n-1) - a(0) s^n

となる。これの左辺はsと素で、右辺はsで割り切れるから、s=1でなければならない。

回答No.3

Tacosan

ちょ～細かいんですが, 証明の最初の
「f(X)は、X^nの係数が1の多項式である。」
に「整数係数」を追加しておいた方が安全では＞#2. 証明中に使いますし.

回答No.2

ramayana

「実対称行列で、成分が0か１の行列」は、「成分が整数の正方行列」の一種ですね。また、「-1/2」は、「整数以外の有理数」の一種ですね。

一般に、次のことがことが言えます。

（１）　成分が整数の正方行列の固有値は、整数以外の有理数になることはない。

[（１）の証明 ]

Aを、成分が整数のn次正方行列とする。f(X)をAの特性多項式とする。すなわち、f(X)=det(X-A)とする。f(X)は、X^nの係数が1の多項式である。

もし、有理数r/s（rとsは互いに素な整数、s>0）がAの固有値だったとすると、r/sは方程式f(X)=0の根である。したがって、f(X)は、

f(X) = (sX-r)g(X)

と因数分解される。ここで、g(X)は、有理数を係数とする多項式である。したがって、g(X)は、整数を係数とする多項式である（注）。g(X)におけるX^(n-1)の係数をtとする。上の式の両辺の、X^nの係数を比較して、次の式を得る。

1 = st

sとtは整数だから、s=t=1である。したがって、r/sは、整数でなければならない。

[証明終わり]

(注）上の証明で、「g(X)の係数が有理数なら、g(X)の係数が整数」という事実を使っています。このことの証明は、長くなるので省略します。大まかに言えば、「整数を係数とする多項式が有理数を係数とする多項式の積に因数分解できるなら、整数を係数とする多項式の積に因数分解できる」というよく知られた命題から導かれます。

お礼

ありがとうございます。

補足

ありがとうございます。新たに質問してしまいましたが、整数を係数とする多項式が有理数を係数とする多項式の積に因数分解できるなら、整数を係数とする多項式の積に因数分解できる

というのが分からないのですが、なんでですか？

回答No.1

ereserve67

行列は何次なのですか．2次ならば次のようになります．a,bを0または1として，固有多項式は

(λ-a)^2-(-b)^2=(λ-a-b)(λ-a+b)

であるから，固有値λはa±b．これは整数で決して-1/2にはなりません．