一般項の求め方

質問

漸化式の問題で
a1=2,a(n＋1)=3an-2(n=1,2,…）
特性方程式を利用して
ｘ＝3x-2を解いて
x=1

a(n＋1)-1=3(an-1)

F(n＋１）＝３・F（ｎ）より
ここからがわからないのですが
どうして
a(n)-1-(a1-1)・3＾(n-1)になるのがわかりません。
私が計算をすると
a(n＋１）・3＾(n-1)=an-1
になります。
お願いします。

回答No.6

noname#19361

F[n+1]＝3F[n]
という式が、何を表しているか、分かりますでしょうか？
F[n]は、３倍すると次の項F[n＋1]になる。
と、いうことは、『F[n]という数列は公比が３の等比数列である』、ということになりますよね。
等比数列とわかったならば、F[n]の一般項が計算できそうだな！
じゃあ出しちゃおう！
　　　　　　F[n]＝a[n]-1
というように置いて解いているはずなので、F[n]の初項、すなわちF[1]は、上の式にn＝1を代入すればできますよね！
　　　　　　F[1]＝a[1]-1
　　　　　　　　＝2-1
　　　　　　　　＝1
F[n]の初項が１とわかりました。公比も３と分かります。では一般項を求めましょう。
　　　　　　F[n]＝（初項）×（公比)^(n-1)
　　　　　　　　＝　　１　×　　３ ^(n-1)
　　　　　　　　＝３ ^(n-1)
これがF[n]の一般項です。
ここで、注目するのが　F[n]＝a[n]-1　です。
先ほどの式に代入してみましょう。
　　　　　　F[n]＝３ ^(n-1)に代入すると
　　　　　a[n]-1＝３ ^(n-1)
　　　　　　a[n]＝３ ^(n-1)+1

これでオッケイ！どこまで理解できてないのかわからないので、基礎からかなり丁寧に説明しました。いつの間にか最後まで計算してしまっているようですが、どうでしょうか。とりあえず、がんばってみてください。
それとONEONEさん、熱心に説明をしていらっしゃるようですが、割り込んでしまって申し訳ないです。

回答No.5

ONEONE

＞F(n＋１）＝３・F（ｎ）より
＞まではわかるのですが

F(n＋１）＝３・F（ｎ）は等比数列を表す漸化式なので
F(n) =　3^{n-1}*F(1)
となる。
というのはわかりますか？

回答No.4

keyguy

特性方程式はもっと複雑な前科式に使います
ちなみにこの前科式の特性方程式は
λ=3です
-2は斉次項では有りません

回答No.3

ONEONE

b[n+1] = 3b[n]
という漸化式の一般項は導けますよね？
公比３の等比数列は
b[n] = b[1]*3^{n-1}

ここでb[n] = a[n] - 1，b[1] = a[1] - 1ってだけなのですが・・・

落ち着いて考えれば大丈夫！

補足

できれば解説どおり教えてほしいです
a(n＋1)-1=3(an-1)

F(n＋１）＝３・F（ｎ）より
まではわかるのですが
a(n)-1-(a1-1)・3＾(n-1)になるのがわかりません。
どうして
a(n)-1=(a（１）-1)・3＾(n-1)になるのですか？

何回も読んで考えたのですがぜんぜんわかりません

回答No.2

ONEONE

a[n＋1] - 1 = 3(a[n] - 1)
コレが意味するものは
数列{a[n] - 1}は初項(a[1] - 1)，公比3の等比数列である、ということです。
a[n＋1] = 3a[n] - 2という漸化式を解くために等比数列の形にしたのです。

解説とは違いますが
a[n]-1 = b[n]とおけば
b[n+1] = 3b[n]
初項b[1]，公比3の等比数列の一般項は
b[n] = b[1]*3^{n-1}
と表せます。
もとにもどして
a[n] + 1 = (a[1] - 1)*3^{n-1}

補足

混乱してきました。
難しいです。

回答No.1

eiji2003

F(n+1)=3*F(n)
これは公比が３、初項がF(1)=a1-1=1の等比数列ですよね。

ですから、F(n)＝1*3^(n-1)=3^(n-1)
となります。

F(n)=an-1とおいたので、
an-1=3^(n-1)　となります。
すなわちan=3^(n-1)+1　となります。

補足

F(n)=an-1とおいたので、
がよくわかりません