初期値問題における分母が0になる問題と解き方について
- 初期条件を代入すると、常微分方程式の解の積分定数を求める際に分母が0になってしまう問題が生じます。
- この問題を解決するためには、別の手法を用いて解を求める必要があります。
- 具体的な手法として、異なる初期条件を使用して解の定数を求め、それを元の初期条件に代入する方法があります。
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初期条件を代入すると分母が0になる初期値問題
2階線形常微分方程式 (x^2 y')' = -x^2 を解くと、両辺を x で積分して x^2 y' = -x^3/3 + C 両辺を x^2 で割って y' = -x/3 + C/x^2 ... (b) 両辺を x で積分して y = -x^2/6 - C/x + D ... (a) となります。 ここで初期条件 y(0) = 1, y'(0) = 0 だと y = -x^2/6 + 1 になるらしいのですが、(a) で y(0) = 1 とおいて D について解こうと思っても、 y(0) = -C/0 + D = 1 と分母が0になってしまい計算できません。 (b) y' = -x/3 + C/x^2 の場合も同様で、 y'(0) = C/0 = 0 となってしまいます。 このような場合はどうやって積分定数 C, D を求めればよいのでしょうか？ 解き方が間違っていますか？ ご教示ください。よろしくお願いします。
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x^2 y' = -x^3/3 + C にx=0を代入すると 0^2 *1 = -0^3/3 + C となってC=0 つまり y = -x^2/6 + D ... (a) これにx=0を代入すると 1 = -0^2/6 + D ... (a) でD=1
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