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フェルマーの小定理 証明
dreamfighterの回答
- dreamfighter
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あっ、回答者にはお礼をしましょうね。 回答してもらえなくなりますよ。 ではでは。
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フェルマの小定理の証明は、ふつうは、二項定理と数学的帰納法、または、オイラーの定理を使うようです。以下の証明で、（式ａ）から（式ｂ）に移るのは妥当なのか、よくわかりません。 [蛇足] フェルマの小定理より、オイラーの定理の証明のほうが簡単なのは違和感を感じるのですが・・・。フェルマの小定理の簡明な証明方法があったら、それも教えてほしいです。 ●オイラーの定理 (a,m)=1のとき a^(φ(m))≡1 (mod m) 【フェルマの小定理】 a^(p-1)≡1 (mod p) ただし、aは正の整数（←条件を、少し制約しました。）、pは素数、ａとｐは互いに素（(a,p)=1） とする。 ■証明 数学的帰納法を用いる。 (1)a=1 のときは明らか。 (2)a=k のとき成り立つと仮定して、a=k+1のとき成り立つことを証明する。 言い換えると、mod p において、 k^p≡k ⇒ (k+1)^p≡k+1 を証明すればよい。 以下、合同式は mod p の場合のことを指す。 仮定より、 (k)^p≡k (k)^p-1≡k-1 F(k)=k^(p-1)+k^(p-1)…+1 とおくと、 (k-1)・F(k)≡k-1 よって、 F(k)≡1 ところで、F(k)はp個の元から構成されており、 p-1 Σ(k^m)≡1 （式ａ） m=0 と書き直せる。ここで、kをk+1に置き換えるが、加法+と乗法・を交換則、結合則、分配則をみたす演算子*とすると、 p-1 Σ((k)^m*(1)^m)≡1 （式ｂ） m=0 と書ける。これより、 p-1 k・Σ((k)^m*(1)^m)≡k m=0 p-1 (k*1-1)・Σ((k)^m*(1)^m)≡k m=0 よって、 (k*1)^p-1≡k 書き直して、 (k+1)^p≡k+1 <証明終>
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