ラプラス変換の問題:s / (s + 1)^2 を逆変換する方法についての質問
- 質問者は、ラプラス変換の問題でつまづいています。
- 特に、s / (s + 1)^2 の逆変換方法が分からないようです。
- 質問者は、cos(t)と2te^(-t) の逆変換は理解しているが、この式について分からないと相談しています。
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y''+2y'+y=sin(t)のラプラス変換
ラプラス変換の勉強のため、 http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetrans/Laplace6.htm の問題を少しずつ解いています。しかし、 y '' + 2 y '+ y = sin(t) ただし y(0) = 1, y'(0) = 0 でまた足踏み状態です。 -y'(0) + s ( -y(0) + sY(s) ) + 2 ( -y(0) + sY(s) ) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2) ↓ 0 -s + s^2 Y(s) -2 + 2sY(s) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2) ↓ Y(s) ( s^2 + 2s + 1 ) - s - 2 = 1 / (s^2 + 1) ↓ Y(s) ( s + 1 )^2 = 1 / (s^2 + 1) + s + 2 ↓ Y(s) = 1 / ( (s^2 + 1) ( s + 1 )^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = (1 / 4) ( s / ( ( s + 1 )^2 - 2s ) - s / (s + 1)^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = (1 / 4) s / ( s^2 + 1 ) - (1 / 4) s / (s + 1)^2 + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = (1 / 4) s / ( s^2 + 1 ) + (3 / 4) s / (s + 1)^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ここでつまづいてしまいました。 s / ( s^2 + 1 ) はcos(t)、 2 / ( s + 1 )^2 は 2te^(-t) (だと思う)、のですが、 s / (s + 1)^2 をどう逆変換するか分かりません。 どうぞよろしくお願いいたします。
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>s / (s + 1)^2 をどう逆変換するか分かりません。 部分分数変換して s/(s+1)^2 = 1/(s+1) - 1/(s+1)^2
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- Tacosan
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分子が定数になるよう部分分数に分解.
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補足
回答有り難うございます。途中間違っていたので、再度計算しなおしました。 -y'(0) + s ( -y(0) + sY(s) ) + 2 ( -y(0) + sY(s) ) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2) ↓ 0 -s + s^2 Y(s) -2 + 2sY(s) + Y(s) = 1 / (s^2 + 1^2) ↓ Y(s) ( s^2 + 2s + 1 ) - s - 2 = 1 / (s^2 + 1) ↓ Y(s) ( s + 1 )^2 = 1 / (s^2 + 1) + s + 2 ↓ Y(s) = 1 / ( (s^2 + 1) ( s + 1 )^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = (1 / 2s) ( 1 / ( ( s + 1 )^2 - 2s ) - 1 / (s + 1)^2 ) + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = (1 / 2s) 1 / ( s^2 + 1 ) - (1 / 2s) 1 / (s + 1)^2 + s / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = 1 / 2s - ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 ) - ( ( s + 2 ) / 2 ) ( 1 / s ( s + 2 ) - 1 / ( s + 1 )^2 ) + 1 / ( s + 1 ) - 1 / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = ( 1 / 2s ) - ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 ) - 1 / 2s + ( 1 / 2 ) s ( s + 1 )^2 + 1 / ( s + 1 )^2 + 1 / ( s + 1 ) - 1 / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = ( 1 / 2s ) - ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 ) - 1 / 2s + ( 1 / 2 ) 1 / ( s + 1 ) - ( 1 / 2 ) 1 / ( s + 1 )^2 + 1 / ( s + 1 )^2 + 1 / ( s + 1 ) - 1 / ( s + 1 )^2 + 2 / ( s + 1 )^2 ↓ = + ( 3 / 2 ) 1 / ( s + 1 ) - ( 1 / 2 ) s / ( s^2 + 1 ) + ( 3 / 2 ) 1 / ( s + 1 )^2 ↓ L^-1[ Ys ] = + ( 3 / 2 ) e^(-t) - ( 1 / 2 ) cos (t) + ( 3 / 2 ) t e^(-t) ↓ y = ( 3 / 2 ) e^(-t) - ( 1 / 2 ) cos (t) + ( 3 / 2 ) t e^(-t) 検算 y = ( 3 / 2 ) e^(-t) - ( 1 / 2 ) cos (t) + ( 3 / 2 ) t e^(-t) 2y' = - ( 6 / 2 ) e^(-t) + ( 2 / 2 ) sin (t) + ( 6 / 2 ) e^(-t) - ( 6 / 2 ) t e^(-t) y'' = ( 3 / 2 ) e^(-t) + ( 1 / 2 ) cos (t) - ( 3 / 2 ) e^(-t) - ( 3 / 2 ) e^(-t) + ( 3 / 2 ) t e^(-t) なので、 y'' + 2y' + y = sin (t) y(0) = ( 3 / 2 ) e^(0) - ( 1 / 2 ) cos (0) + ( 3 / 2 ) 0 e^(0) = 3 / 2 - 1 / 2 + 0 = 1 y'(0) = - ( 3 / 2 ) e^(0) + ( 1 / 2 ) sin (0) + ( 3 / 2 ) e^(0) - ( 3 / 2 ) 0 e^(0) = - 3 / 2 + 0 + 3 / 2 - 0 = 0 どうもありがとうございました。