数学の微分？の問題教えてください！

質問

直方体の稜の長さの和が１５０cm、体積の最大値を求めよ。

という問題です。
途中式と答えを教えて欲しいです。

回答No.3

noname#157574 · ベストアンサー

稜は日常語ではありませんので3辺に言い換えましょう。

回答No.2

mister_moonlight

微分なん　不要。

3辺をα、β、γ　(α＞0、β＞0、γ＞0)とすると、α＋β＋γ＝150/4　‥‥(1)
体積をＶとすると　Ｖ＝αβγ。
相加平均・相乗平均から　α＋β＋γ≧3(3)√(αβγ)。これを3乗して　(1)を使うだけ。
そして、等号成立は　α＝β＝γ＝？　の時。

回答No.1

info22_

直方体の稜の長さ（縦・横・高さ）の小さい方の稜から、それぞれa,b,c(0<a≦b≦c)とおくと
　4(a+b+c)=150[cm] → a+b+c=75/2　...(◆)
体積V=abcなので
相加平均、相乗平均の関係より
　a+b+c≧3(abc)^(1/3)=3V^(1/3)　...(★)
等号はa=b=cのとき成立。
つまり、(◆)から a=b=c=25/2[cm]のとき成立。

(★)からVを求めると
　V≦((a+b+c)/3)^3
(◆)より
　V≦(75/6)^3=(25/2)^3=15625/8[cm^3]

従って、等号成立時(a=b=c=25/2[cm]のときVは最大値=15625/8[cm^3]
をとります。