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数学：軌跡の問題
「P(x,y)と原点の距離をF、x＝3との距離をHとする。H/F=2のとき、Pの軌跡を求めよ。」 この問題をどのような手順で軌跡を求めていけばよいのか、分かりません。自分なりに調べてみたものの自信を持って解答までたどり着けませんでした。 上記の問題を詳しく解説していただければ、幸いです。どうか、よろしくお願いいたします。
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- ferien
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ANo.1です。ANo.3さんへ ｘ＝３の上の点の座標は、（３，ｙ）ということになると思いますが、 このｙは、Ｐ（ｘ，ｙ）のｙと一致すると考えればいいのでしょうか？ Ｐ（ｘ，ｙ）が変われば、ｘ＝３上の点の座標も変わります。 定点でなければいけないような気がしたので、（３，０）としましたが、 考えが足りませんでした。 Ｐの軌跡は、だ円と言うことでいいと思います。
お礼
ご親切な回答ありがとうございました。補足説明もしていただき、非常に感謝しております。
- marsha110
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No.2の訂正です。 (7)式でb^2とするべきところを、No.2の回答でbにしてしまいました。 また、ferienさんの回答は、x=3との距離を点(3,0)との距離としていますが、y座標はいくらでも取れるので、そこは誤りだと思います。 P(x,y)とすると F=OP=√(x^2+y^2)....(1) H=|x-3|.............(2) H/F=2よりH=2*F......(3) (1)式と(2)式を(3)式に代入して、両辺を二乗すると (|x-3|)^2=4*(x^2+y^2).....(4) (4)式を整理すると 3*x^2+6*x+4*y^2=9.......(5) (5）式を数学的に意味ある形に変形します。 ここからは、テクニックです。 3*(x^2+2*x)+4*y^2=9 3*{(x+1)^2-1}+4*y^2=9 3*(x+1)^2+4*y^2=12 (x+1)^2/(1/3)+y^2/(1/4)=12 (x+1)^2/4+y^2/3=1.....(6) 楕円の一般的な式は x^2/a^2+y^2/b^2=1.....(7) (6)式と(7)式を比較すれば、点Pの軌跡が何であるかわかるでしょう。 最後は、質問者のほうで考えてください。
お礼
ご丁寧な回答と解説ありがとうございました。指針も教えてくださって非常に参考になりました。
- marsha110
- ベストアンサー率55% (5/9)
P(x,y)とすると F=OP=√(x^2+y^2)....(1) H=|x-3|.............(2) H/F=2よりH=2*F......(3) (1)式と(2)式を(3)式に代入して、両辺を二乗すると (|x-3|)^2=4*(x^2+y^2).....(4) (4)式を整理すると 3*x^2+6*x+4*y^2=9.......(5) (5）式を数学的に意味ある形に変形します。 ここからは、テクニックです。 3*(x^2+2*x)+4*y^2=9 3*{(x+1)^2-1}+4*y^2=9 3*(x+1)^2+4*y^2=12 (x+1)^2/(1/3)+y^2/(1/4)=12 (x+1)^2/4+y^2/3=1.....(6) 楕円の一般的な式は x^2/a^2+y^2/b=1.....(7) (6)式と(7)式を比較すれば、点Pの軌跡が何であるかわかるでしょう。 最後は、質問者のほうで考えてください。
お礼
回答ありがとうございました。
- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
＞「P(x,y)と原点の距離をF、x＝3との距離をHとする。H/F=2のとき、Pの軌跡を求めよ。」 Ｐから原点までの距離Ｆ^2＝ｘ^2＋ｙ^2 Ｐからｘ＝３（３，０）までの距離Ｈ^2＝（ｘ－３）^2＋ｙ^2 Ｈ／Ｆ＝２より、（Ｈ／Ｆ）^2＝２^2より、Ｈ^2＝４Ｆ^2だから、 （ｘ－３）^2＋ｙ^2＝４（ｘ^2＋ｙ^2） ｘ^2－６ｘ＋９＋ｙ^2＝４ｘ^2＋４ｙ^2 ３ｘ^2＋６ｘ－９＋３ｙ^2＝０ ｘ^2＋２ｘ－３＋ｙ^2＝０ （ｘ^2＋２ｘ＋１）＋ｙ^2＝１＋３ よって、 （ｘ＋１）^2＋ｙ^2＝４ Ｐの軌跡は、中心（－１．０）半径２の円 でいいのではないでしょうか？
お礼
最も早い回答ありがとうございました。
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