数学の問題です

質問

f(x)=(2x)^x
f(x)=(1+x)^1/x
の対数微分

tan^-1√(1-x)
の微分
を教えてください

回答No.2

ferien

ANo.1です。

tan^-1√(1-x)なのですが
＞tan^-1√(1-x)<(π-x)/4 0<x<1
＞の証明の際、使えると思ったのですが...

ｆ（ｘ）＝tan^-1√（１－ｘ）－（π－ｘ）/4とおくと、
ｆ'（ｘ）＝－１／２√（１－ｘ）（２－ｘ）＋（１／４）
＝｛√（１－ｘ）（２－ｘ）－２｝／４√（１－ｘ）（２－ｘ）
０＜ｘ＜１より、１－ｘ＞０，２－ｘ＞１，より、
√（１－ｘ）（２－ｘ）＞０だから、分母＞０
分子＝√（１－ｘ）（２－ｘ）－２より、
｛√（１－ｘ）（２－ｘ）＜２を示す。
左辺＞０，右辺＞０なので、２乗して比べます。
（１－ｘ）（２－ｘ）^2－２^2
＝（１－ｘ）（４－４ｘ＋ｘ^2）－４
＝－ｘ^3＋５ｘ^2－８ｘ
＝－ｘ（ｘ^2－５ｘ＋８）
ここで、
ｘ^2－５ｘ＋８
＝（ｘ^2－５ｘ＋25/4）－25/4＋８
＝（ｘ－5/2）^2－＋７／４＞０
－ｘ＜０より、－ｘ（ｘ^2－５ｘ＋８）＜０だから、
（１－ｘ）（２－ｘ）^2－２^2＜０
よって、分子＝√（１－ｘ）（２－ｘ）－２＜０
分母＞０だから、ｆ'（ｘ）＜０
従って、ｆ（ｘ）は単調減少関数
ｆ（０）＝tan^-1（１）－π／４＝π／４－π／４＝０だから、
ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）＜ｆ（０）より、
tan^-1√（１－ｘ）－（π－ｘ）/4＜０
よって、tan^-1√（１－ｘ）＜（π－ｘ）/4

でどうでしょうか？

回答No.1

ferien

＞f(x)=(2x)^x
ｙ＝（２ｘ）^xとおいて、両辺の対数をとると、
logｙ＝log（２ｘ）^x＝ｘlog（２ｘ）
（１／ｙ）ｙ'＝１・log（２ｘ）＋ｘ・（２／２ｘ）
ｙ'＝ｙ｛log（２ｘ）＋１｝
＝（２ｘ）^x｛log（２ｘ）＋１｝

＞f(x)=(1+x)^1/x
ｙ＝（１＋ｘ）^(1/x)とおいて、両辺の対数をとると、
logｙ＝（１／ｘ）log（１＋ｘ）＝ｘ^(-1)log（１＋ｘ）
（１／ｙ）ｙ'
＝（－１）ｘ^(-2)・log（１＋ｘ）＋ｘ^(-1)・｛１／（１＋ｘ）｝
＝｛－log（１＋ｘ）／ｘ^2｝＋｛１／ｘ（１＋ｘ）｝
＝ｘ／ｘ^2（１＋ｘ）－log（１＋ｘ）／ｘ^2
ｙ'＝｛（１＋ｘ）^(1/x)ｘ／ｘ^2（１＋ｘ）｝－｛（１＋ｘ）^(1/x)log（１＋ｘ）／ｘ^2｝
＝｛（１＋ｘ）^{(1/x)-1}ｘ／ｘ^2｝－｛（１＋ｘ）^(1/x)log（１＋ｘ）／ｘ^2｝
＝（１＋ｘ）^{(1/x)-1}｛ｘ－（１＋ｘ）log（１＋ｘ）｝／ｘ^2　　

＞tan^-1√(1-x)
ｙ＝tan^-1√（１－ｘ）とおくと、
tanｙ＝√（１－ｘ）＝（１－ｘ）^(1/2)
sec^2ｙ・ｙ'＝(1/2)（１－ｘ）^(-1/2)・（－１）
（１＋tan^2ｙ）ｙ'＝－１／２√（１－ｘ）
｛１＋（１－ｘ）｝ｙ'＝－１／２√（１－ｘ）
ｙ'＝１／２（ｘ－２）√（１－ｘ）

でどうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
(2x)^x(log(2x)+1)
と
-{(1+x)^1/x}/x^2 {log(1+x)-x(1+x)^-1}
と求めることができました

tan^-1√(1-x)なのですが
tan^-1√(1-x)<(π-x)/4 0<x<1
の証明の際、使えると思ったのですが...