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同値関係の問題が数学の授業で出たのですが、全くできません… わかる方いたら解説お願いできないでしょうか？ (1)(m,n),(m',n')∈N×Nに対して、mn'=m'nが成立するとき、(m,n)～(m',n')とします。このようにして関係を定義したとき、これが同値関係となることを示してください。 (2)x,y∈Zに対して、x-yが12で割り切れるとき、x～yとして、関係を定義すると同値関係になります。このときの同値類をすべて求めてください。（同値類は[x]と書く） わかる方よろしくお願いします！
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同値関係の問題です。 １）群Ｇと部分群Ｈで｛(x,y)｜xy∈Ｈ｝がＧ上の同値関係でないものを与えよ。 ２）群Ｇと部分群Ｈで{(x,y)｜xyx^(-1)y^(-1)∈Ｈ}がＧ上の同値関係でないものを与えよ。 ３）ＲをＸの同値関係とする。与えられたx∈Ｘに対して、y∈Ｘを(x,y)∈Ｒとなるように選ぶ。対称律より(y,x)∈Ｒとなり、次に推移律より(x,x)∈Ｒが示される。それゆえ、同値関係の反射律は余計なように思える。この議論の何が問題なのだろうか？ １問でもいいので分かる方おねがいします。
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2点質問があります。見当はずれの質問かもしれませんが…。 (1)閉区間I=[0,1] 『Iにおいて点0と点1を同一視して得られる商空間』というのは、 『I上の同値関係～を x～y ⇔ x＝yまたは{x,y}＝{0,1}と定義し、 同値関係～によるIの商空間』 と言い換える事が出来ますか？ (2) 『X＝{(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦1}において、 点(0,y)と点(2,1-y)(0≦y≦1)を同一視し、 点(x,0)と点(2-x,2)(0≦x≦2)を同一視して得られる空間(射影平面)』 というのは、 上のように言い換えると、どうなりますか？ (X上の同値関係～をどのように定義すると書けばいいですか？) よろしくお願いします。
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同値関係について質問です。 『X＝{(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦1}において、 点(0,y)と点(2,y)(0≦y≦1)を同一視し、 点(x,0)と点(x,1)(0≦x≦2)を同一視して得られる空間』 というのは 『X上の同値関係～として (a,b),(c,d)∈Xについて (a,b)～(c,d) ⇔ (a,b)=(c,d) または {a,c}={0,2}かつb=d または a=cかつ{b,d}={0,1} と定義したとき,同値関係～によるXの商位相』 と書き換える事が出来るのではないか？と考えたのですが、上のように決めた関係～は推移律を満たさないので同値関係になりませんでした。 そこで、質問なのですが、この場合どのように同値関係を定義すればよいのでしょうか？ 『(a,b),(c,d)∈Xについて (a,b)～(c,d) ⇔ (a,b)=(c,d) または {a,c}={0,2}かつb=d または a=cかつ{b,d}={0,1}』 のような表し方で書いた場合
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R(x,y)はx=yを意味し、 1.∀xR(x,x)（反射律） 2.∀x∀y[R(x,y)→R(y,x)]（対称律） 3.∀x∀y∀z[R(x,y)∧R(y,z)→R(x,z)]（推移律） の三つがあります。 この三つを満たしたとき同値関係となることがわかりますが、 1.が成り立って2.3.が成り立たないとき 2.が成り立って1.3.が成り立たないとき 3.が成り立って1.2.が成り立たないとき 1.2.が成り立って3.が成り立たないとき 1.3.が成り立って2.が成り立たないとき 2.3.が成り立って1.が成り立たないとき の6つのパターン例を示すことはできるのでしょうか？ 日常の例でかまいません＞＜
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同値関係である条件は次のA1～A3を満たすことです。 A1：（反射律）∀xR(x,x) A2：（対象律）∀x∀y[R(x,y)→R(x,y)] A3：（推移律）∀x∀y∀z[(R(x,y)ΛR(y,z))→R(x,z)] (a)～(g)を例をあげてください。 お願いします(/_;) (a)身の回りの自然な例で、同値関係となるもの （これは、「同じクラス」とか「同じ血液型」があてはまりますよね？） (b)A1は成り立つが、A2,A3は成り立たない例 (c)A2は成り立つが、A1,A3は成り立たない例 (d)A3は成り立つが、A1,A2は成り立たない例 (e)A1,A2は成り立つが、A3は成り立たない例 (f)A1,A3は成り立つが、A2は成り立たない例 (g)A2,A3は成り立つが、A1は成り立たない例 できれば分かりやすい例で言っていただけると、ありがたいです。 おねがいします(>_<)
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同値関係の問題で困っています。 ・整数Zにおいて、次の関係Rは同値関係であることを証明せよ。 aRb ⇔ ∃k∈Z,3a+b=4k ・Rの２乗における次の関係Rは同値関係であることを証明せよ。 (a,b)R(c,d) ⇔ a=c,∃k∈Z,b-d=2kπ の２問がわかりません。 面倒くさいかもしれませんが１つでもいいのでお願いします。
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n∈Nに対し、Z上の同値関係～nを次のように定め、x∈Zの同値類を[x]n、商集合をZ/～nをZ/～nZで表す。 x～ny⇔(x-y)/n∈Z 次の写像の定義はwell definedかどうか調べよ。 (1) f: Z/4Z → Z/2Z ; [x]4 → [x]2 (2) g: Z/2Z × Z/3Z → Z/6Z ; ( [x]2 , [x]3 ) → [xy]6 どちらか片方だけでもおしえてくれませんか？？ さっぱりわからないのです。
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