- ベストアンサー
大学 微分
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
ANo.4です。( )がなくて分かりにくいので、以下を訂正します。 >r^2=K/6πで、r>0だから、r=√(K/6π)(=√6πK/6π) このとき、Vが最大値をとるから、(増減表で確かめて下さい。) >h=(K/2π)・{√(6π/K)}-√(K/6π) でお願いします。
その他の回答 (5)
- 中村 拓男(@tknakamuri)
- ベストアンサー率35% (674/1896)
No.3です。やっぱ間違ってました。 再びラグランジュの未定乗数法で行きます。 体積は V(r, h) = πr^2h 束縛条件は(ここが違ってました) G(r, h) = 2πr^2+2πrh -C = 0 とすると f(r, h, λ) = V + λG = πr^2h + λ(2πr^2+2πrh -C) の停留点を束縛条件なしでとけばよいので ∂f/∂r = 2π(rh + λ(2r+h)) = 0 (第1式) ∂f/∂h = πr(r + 2λ) = 0 (第2式) ∂f/∂λ= 2πr(r + h) -C = 0 (第3式) 第2式より λ = -(1/2)r 第1式に代入すると πr(h - 2r) = 0 なので h=2r → h;r = 2:1
お礼
回答ありがとうございます。 みなさんと違う解法でおもしろく わかりやすかったです^^
- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
>表面積が一定の直円柱のうちで、体積が最大となる >円柱の底面の半径と高さの比を求めよ。 半径r、高さhとすると、 表面積は、円の面積×2+側面積だから、 2×πr^2+2πrh=2πr(r+h)=K(定数)とおく。 r+h=K/2πrより、h=(K/2πr)-r 体積V=πr^2h =πr^2{(K/2πr)-r} =(K/2)r-πr^3 rで微分して、 V'=dV/dr=K/2-3πr^2 V'=0より、3πr^2=K/2 r^2=K/6πで、r>0だから、r=√K/6π(=√6πK/6π) このとき、Vが最大値をとるから、(増減表で確かめて下さい。) h=(K/2π)・(√6π/K)-√K/6π =√6πK{(1/2π)-(1/6π)} =√6πk/3π よって、r:h=(√6πK/6π):(√6πK/3π)=1:2
- 中村 拓男(@tknakamuri)
- ベストアンサー率35% (674/1896)
ラグランジュの未定乗数法で解いてみます。 体積は V(r, h) = πr^2h 束縛条件は G(r, h) = πr^2+2πrh -C = 0 とすると f(r, h, λ) = V + λG = πr^2h + λ(πr^2+2πrh -C) の停留点を束縛条件なしでとけばよいので ∂f/∂r = 2π(rh + λ(r+h)) = 0 (第1式) ∂f/∂h = πr(r + 2λ) = 0 (第2式) ∂f/∂λ= πr(r + 2h) -C = 0 (第3式) 第2式より λ = -(1/2)r 第1式に代入すると πr(h - r) = 0 なので h=r 第3式は 3πr^2=C ー> r=√(C/(3π)) 全部オンラインなので間違っていないことを祈ります(^^;
- noname2727
- ベストアンサー率35% (40/112)
底面の半径をr、円柱の高さをhとする。 πr^2+2πrh=k(定数)・・・(※) のとき V=πr^2h=2πrh×r/2=(k-πr^2)×r/2=-πr^3/2 +kr/2 V’=-3πr^2/2 + k/2 よってr=√(k/3π)でVは最大値をとる。 (※)に代入して k/3 + 2πrh = k ⇔2πrh = 2k/3 ⇔rh=k/3π ⇔h=√(k/3π) r:h=√(k/3π):√(k/3π)=1:1 1:1でした^-^¥
お礼
回答ありがとうございます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
どこが?
関連するQ&A
- 微分、最大値などについて
表面積が2πで、底面の半径がr、高さがhの円柱がある。 (1)hをrの式で表せ。 (2)この円柱の体積が最大になるようなrとhの値を求めよ。また、そのときの体積を求 めよ。 できればやり方なども教えてください。 回答よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分で体積の最大値を求めなければなりません。
微分の考えを用いて直円錐台に内接した円柱の体積が最大になる円柱の円の半径を求めなければならないのですが、どうしても解決への糸口が見つかりません。 何か解決への糸口となるアドバイスをいただけませんか? この問題の全文はこちらです↓ ・高さがh、上底の半径がa、下底の半径がbの直円錐台がある。ただし、a<bであり、直円錐台とは直円錐の頭部を底面に平行な平面で切り取ったものである。この中に、半径がrの直円柱を内接させよう。その際、円柱の軸は直円錐台の軸と一致し、下底は直円錐台の下底にあり、上底は直円錐台の側面に接するものとする。円柱の半径rがa≦r<bの範囲で変化するとき、円柱の体積Vが最大となるrを求めよ。 です。 一応この直円錐台の写真も添付しましたので、参考にしてください。
- ベストアンサー
- その他(学問・教育)
- 微分積分の応用問題について
問、底面の半径がa,高さがaの直円柱がある。 この底面の直径ABを含み、底面と30°の傾きを なす平面で円柱を2つに分けるとき小さい方の 立体の体積を求めよ。 この問題について答えと途中式を含んだ解説を載せてくれると ありがたいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学III(微分法)
半径rの球に外接する直円錐について (1)体積の最小値 (2)表面積の最小値 を求めるにはどのようにしたらよいでしょうか? とくに、直円錐の底面の半径を求めるにはどうしたらよいでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 とてもわかりやすかったです^^