物理の第二宇宙速度の考え方てきな質問

質問

知ってると思いますが第二宇宙速度は地球の引力圏を脱出する最低限の速度です
力学的エネルギー(運動E＋万有引力による位置E)が0になればいいのですがどの点で0になればいいんですか？つまりどのたかさで力学的エネルギーが0になればいいのかということです。

たぶん向進力と万有引力が吊り合う高さですよね？
でも第一宇宙速度を超えてることより楕円を描くので高さはその二力が吊り合ってもまちまちになりますよね？どこの位置で計算したらいいですか？

自分の感覚的には、おそらく第一宇宙速度を超えてることより楕円を描くのでその一番遠いところでエネルギーが0になればいいんじゃないのかなーと疑問に思ってます。

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

＞打ち上げる前のエネルギーが０の物体って動くんですか？

動く、動かない　は運動エネルギーです。
運動エネルギーは０ではありません。
０になっているのは力学エネルギーです。
これは重力の位置エネルギーの基準を無限の遠方に取っているということから出てきた値です。
無限遠を基準に取っていますから無限遠での位置エネルギーの値が０になります。
無限遠でないところの位置エネルギーは負になります。
万有引力の影響下での運動で距離の範囲が限られている場合、力学エネルギーは負になります。真上に投げて戻ってくる場合でも、楕円運動でも力学エネルギーは負になっています。

ｍｖ^2/２＝ＧＭｍ／ｒ
と書くと右辺は正です。

これは元のエネルギー保存の式で言えば
ｍｖ^2／２－０＝０－（－ＧＭｍ／ｒ）

（地表での運動Ｅ）－（無限遠での運動Ｅ）＝（無限遠での位置Ｅ）－（地表での位置Ｅ）
（運動エネルギーの減少）＝（位置エネルギーの増加）

無限遠での運動エネルギーを０にしているところが「引力圏脱出の条件」になっています。
無限の遠方まで行くことができるという条件です。（これは既に書いたことの繰り返しです。）

お礼

オッケーです。完璧に理解できました。
繰り返し疑問に回答していただきありがとうございました。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

第１宇宙速度では円軌道ですが、第２宇宙速度では放物線軌道に。
第２宇宙速度を超えると双曲線軌道になります。なので、
第２宇宙速度以上では一番遠いところというのはなくて、
無限の彼方に飛んでゆきます。

で、第２宇宙速度というのは「地表で」力学的エネルギーが0になる
速度(重力による位置エネルギーは無限遠で０とする)です。

なので、「高さ」は地表(つまり R= 6378.137 km) で計算してください。

お礼

まとめてくれてありがとうございました。
理解につながりました(*´∀｀)

回答No.4

Verhalten

質問のテーマは素晴らしいと考えるし、良く勉強していると思います。

しかし、
覚える順番に錯誤があると考えます。
（ ニュートン力学と重力）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B

ｍｇ＝GMｍ/ｒ＾２

より、ポテンシャルエネルギーUは、
ｍｇｈ＝GMｍ/ｒ（ｈ＝ｒの為）

ここから位置エネルギーUガ求めらえています。
（第二宇宙速度）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%80%9F%E5%BA%A6

もう少し基本を徹底的に履修しておくべきだと思います。

補足

＞質問のテーマは素晴らしいと考えるし、良く勉強していると思います
てへ(*´∀｀)

ポテンシャルE＝GMm/Rを打ち消す運動エネルギーを与えてやれば引力圏から抜け出せるということですよね

つまりGMm/R=1/2*mv^2で地球での力学的エネルギーが＝０ってことだよね
Rは地球の半径　第二宇宙速度は概念的に無限遠でエネルギー０だから無限遠では静止しているんですか？

回答No.3

htms42

＃１です。

＞1/2*mv^2-GMm/r=0

上の式のrはどの高さで入れればいいのか知りたいのです。

この式はエネルギー保存則を表しています。
地球の中心からの距離がｒのところを速度ｖで運動しているとします。
別の位置での距離と速度をＲ，Ｖとすると
ｍｖ^2／２－ＧＭｍ／ｒ＝ｍＶ^2／２－ＧＭｍ／Ｒ

左辺は任意の場所です。発射速度を求めたいのであればｒには地表を表す値を入れます。
右辺には引力圏を脱出することができるという内容の値を入れます。
それは無限の遠方でも「運動エネルギー＞０」ということです。
（地表と無限の遠方とをエネルギー保存則でつないでいます。）
Ｒ→∞　で　Ｖ^2＞０
これで出てきた式が
ｍｖ^2／２－ＧＭｍ／ｒ＞０
です。これにｒ＝地球の半径Ｒｏ、ｇ＝ＧＭ／Ｒｏ^2を代入すると
ｖ^2＞２ｇＲｏ

第二宇宙速度というのはこの式で得られる境界値です。
これ以下の速度で打ち出せば（ｒの値が有限の）ある場所から先には行くことができなくなります。
引力に引き戻されるのです。

いきなり公式として
ｍｖ^2／２－ＧＭｍ／ｒ＝０
が出てきているので２つの場所についてエネルギー保存の式を立てたということが見えなくなってしまっているのではないでしょうか。

ついでに
＞たぶん向心力と万有引力が吊り合う高さですよね？

向心力は向心加速度×質量に相当する力です。
運動方程式Ｆ＝ｍａの右辺に付けた名前です。
円運動であれば必ず中心向きに力が働いていなければいけないということから付けた名前です。
その具体的な力の内容は左辺になります。万有引力というのはその力の一つの例です。おもりに紐を付けて円運動を実現したとすれば紐の張力が向心力になります。
これは釣り合いの式ではありません。
右辺と左辺は同じ向きのベクトルです。

補足

無限遠の力学的Eと地表での力学的E等が保存されるから、境界値を求めるとは無限遠でE＝０で第二宇宙速度である最低限の速さであり、だから地表での力学的エネルギーは０ということ、結論公式のｒには地球の半径ってことかな

打ち上げる前のエネルギーが０の物体って動くんですか？

回答No.2

nananotanu

位置エネルギーで計算するんです。
地表での位置エネルギーが「無限遠で」０になるように、運動エネルギーを算出する、すなわち、無限遠で地表での位置エネルギーがすべて運動エネルギーにすり替わるとしたときの、運動エネルギーから速度を出します。

向心力(ですよね？)と万有引力の釣り合いから出るのは、第『一』宇宙速度。

補足

＞運動エネルギーを算出する、すなわち、無限遠で地表での位置エネルギーがすべて運動エネルギーにすり替わるとしたとき

1/2*mv^2-GMm/r=0　　の式のrは無限遠の高さ∞でも入れるということですか？

＞向心力(ですよね？)と万有引力の釣り合いから出るのは、第『一』宇宙速度。

なるほど

回答No.1

htms42

第二宇宙速度の出し方を見直して下さい。
万有引力の位置エネルギーが負であることを見落としていませんか。

万有引力の位置エネルギーがゼロになるところ＝万有引力の影響のなくなるところ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝無限の遠方

楕円の軌道を描くというのは万有引力の影響下で起こる運動です。
引力圏を出ていません。

お礼

少し勘違いをしていたようです、引力圏を出ていないのですか。なるほど

ですが1/2*mv^2-GMm/r=0

で計算するのは知って言います。負であることももちろんわかってます。
上の式のrはどの高さで入れればいいのか知りたいのです。

補足

少し勘違いをしていたようです、引力圏を出ていないのですか。なるほど

ですが1/2*mv^2-GMm/r=0

で計算するのは知って言います。負であることももちろんわかってます。
上の式のrはどの高さで入れればいいのか知りたいのです。