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korun8040

問)赤、青、黄、桃、緑の各色の球がそれぞれ1個ずつ箱の中に入っている。
この箱の中から無作為に1個の球を取り出し、色を調べてからもとに戻す操作を5回
繰り返す。
3回以上同じ色の球を取り出す確立はいくらか?

 と、いう問いなのですが例えば赤を取り出す確立は1/5ですよね?
 それを3回取り出す⇒(1/5)^3・・・・・A
     2回取り出さない⇒(4/5)^2・・B

   で赤が3回、ほかの色が2回出る確率が出そうな気がするのですが
   回答では先頭に、5C3がついてかけられているのです。
   
      5C3×(1/5)^3×(4/5)^2=10×10/5^2=32/625(赤の出る確率)

    なぜA,Bだけでは赤の出る確率が出ないのか、
    初心に戻ってA,Bの意味合い、5C3の意味合いをどなたか詳しくご教授ください。
    (独立試行の定理自体、理解しきれていません。)
    どうぞよろしくお願いします。

    
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Aみんなの回答(全5件)

質問者が選んだベストアンサー

  • 2012-05-17 07:22:52
  • 回答No.2
この問題は独立試行というより独立試行を繰り返し行う反復試行の問題ではないでしょうか。

独立試行とは、2つの試行の結果が互いの結果に影響しないことを言い、例えば、『白球3個と赤球3個が入ったAとBの袋があります。A、Bからそれぞれ1つずつ合計2つ取り出すとき、どちらも赤球である確立を求めなさい』というような問題があったとして、Aから赤、白どちらの球を出したとしても、それがBから出す球の色に影響を与えたりしませんよね?
この場合、Aから球を出す試行と、Bから球を出す試行が別の作業であり独立していると言うのです。

問題文では、『出した球を戻す』ことで1回目に出した球の色が、2回目に出す玉の色に影響しないため、球を出す試行は独立しています。
では、上記の問題と何が違うのか。それは試行の順番があるということです。上記の問題では、先に球を出す作業をA、B同時に行うことができます。しかし、あなたの質問内の問題文では、1回目、2回目と順番に試行を行わなければなりません。そこで反復試行の考えを利用するのです。

あなたの言う通り、1つの色が3回出る確立は(1/5)3乗、他の色が2回出る確立は(4/5)2乗で表すことができます。ただこれだけではまだある色を5回中3回出す確立を表し切れていません。『5回のうち何回目に出るのか』という考えが含まれていないからです。
そこで、5C3の意味ですが、これはある色が5回中3回出るとき何回目に出るのか、それは何通りあるのかということを表しています。詳しく書くと((1)(2)(3))((1)(2)(4))((1)(2)(5))((1)(3)(4))((1)(3)(5))((1)(4)(5))((2)(3)(4))((2)(3)(5))((2)(4)(5))((3)(4)(5))の10通りのことを意味しているわけです。
よって、質問内のような式を使って確立を求めることになるのです。
お礼コメント
なるほど、何回目に出るかと言う事なのですね。
ほかの方々もご丁寧にありがとうございました^^
投稿日時 - 2012-06-22 05:57:10
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その他の回答 (全4件)

  • 2012-05-17 08:04:04
  • 回答No.3
もっと単純な問題に直してみましょう。
赤1個、白1個として、1回赤が出る確率は、korun8040の考え方では
(1/2) x (1/2) = (1/4)
です。

そこでシミュレーションしてみます。
2回取り出すという試行を400回したとしましょう。
1個目が赤で2個目が白だったというように記録してゆきます。

試行を全て終えたら、記録を調べてみると、
1回目が赤の記録は200個くらいあるはずです。
赤を取り出す確率は 1/2 だからです。
さらに記録を絞り込んで、1回目は赤、2回目は白の記録の
個数を調べると 100回くらいになるはずです。
2回目が白になる確率は、1回目の色に左右されないからです。

以上から 1回目赤、2回目白の個数は 100回くらいで
確率は 100/400 = 1/4 となります。

同様に考えて、一回目が 白、2回目が赤の確率も 1/4

なので、赤が一回出る確率は2つ合わせて 1/2 です。

つまり、2回取り出して赤が一回という色の出方の全パターンを
網羅しなければならないのです。

元の問題に戻りますが、

赤が3回でるのは、5個から3個選ぶ組み合わせ5C3で

他他赤赤赤 他赤他赤赤 他赤赤他赤 他赤赤赤他
赤他他赤赤 赤他赤他赤 赤他赤赤他 赤赤他他赤
赤赤他赤他 赤赤赤他他

の10種類、なので、それぞれの確率を算出して全てたさなくてはなりません。

赤が4回出るのは、5個から4個選ぶ組み合わせで
4種類、赤が5回出るのは、5個から5個選ぶ組み合わせで
1種類ですがこれらも同様です。

同様に、他の色に付いても計算をすればよいのですが、ある色が
3回以上出たら他の色は2回までなので、独立に計算して
単純に足せば良いことになります。

以上ですが、確率を考える場合、たくさん試行して記録を取り
整理して統計を取るという思考実験は問題を非常に明瞭にします。
迷ったらこの方法をお薦めします。
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  • 2012-05-17 12:57:17
  • 回答No.4
No.3 です。訂正です。
>赤が4回出るのは、5個から4個選ぶ組み合わせで
>4種類、

5種類ですね。5C4=5 です。
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  • 2012-05-17 06:48:23
  • 回答No.1
5C3が必要な理由は、

赤赤赤××
赤赤×赤×
赤赤××赤
赤×赤赤×
赤×赤×赤
赤××赤赤
×赤赤赤×
×赤赤×赤
×赤×赤赤
××赤赤赤

の10とおりをすべて数え上げる必要があるからです。
5C3とは、5つのものから3つを選び出す組合せの数のことです。
式で書くと
(5×4×3)/(3×2×1)
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  • 2012-05-17 22:25:17
  • 回答No.5
陥りやすい錯覚ですな。
質問者の方は、「個別確率の積が、どうして全体での確率と一致しないのか?」ということが疑問なのですね?
そこで、この個別確率の考え方に沿っての説明を試してみますね。
まず、質問者の方の値;(1/5)^3×(4/5)^2が正解となるような問題を考えてみましょう。
これは、例えば、20000人の被験者を集めて、本題の操作をやってもらうこととします。ここで、5回の出方のうち、赤を3つ含むようなパターンを任意に”一つ”設定します。ここでは「赤赤○赤○」としましょう。(○は赤以外なんでもOK) そして、まず全員に1回目をやってもらって、設定パターン(この場合”赤”ですね)以外だった人には退場していただき、残った人だけで2回目を行う。 と、この操作を5回行ったら、最終的に残る人の数は20000人に対してどのくらいの割合か?
という問題の答えなんですね。
つまり、この場合、最初の1回で確率(1/5)が実現し、16000人が退場します。2回目では、残った4000人のうち、3200人が退場することになります。この時(1/5)^2が実現しています。3回目終了時には(1/5)^2×(4/5)が実現していて、最終的に(1/5)^3×(4/5)^2が実現するわけです。およそ100人ですね。
さて、ではこの値(約100/20000)はどういう値だったか?というと、これは「赤赤○赤○」という1つのパターンでの「居残り確率」なわけです。
ところが本題では、赤を3つ含んでさえいれば、”条件に合致する”のだから、「赤○赤○赤」の人も居残っていなければなりません。(なのに、このパターンの人は可哀想にも退場させられてしまっている)同様に「○赤赤赤○」の人も本来は居残り組です。
では、「赤○赤○赤」のパターンは何人いるのか?というと、居残った人数と同じ、約100人いるわけです。「○赤赤赤○」のパターンの人数も同じ。
これらのパターンの人も居残り組に復活させたら、居残り組は全部で何人になるでしょうか?
と、ここまでくれば、赤を3つ含むようなパターンの数がいくつあるのか?(これが5C3なのですが)をかけなければならない理由がお解かりいただけましたでしょうか。
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