球の方程式(数Bベクトル)

質問

お世話になっております。

次の問題の解き方のヒントをお教え下さい。

問「点(2,1,1)を通り、三つの座標平面に接する球面の方程式を求めよ」

私的には、例えば円の方程式を与えられた3点から連立方程式を立てて解くのと同じイメージかな、と思っているのですが、xy平面はz=0、yz平面はx=0、zx平面はy=0、をどう座標にして代入したら良いのか、あるいは、という感じで前に進めません。

アドバイス下さい。宜しくお願い致します。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
ベクトルの問題というよりは、円の方程式の問題ですよね。

#1さんが書かれているように、
半径を r（ｒ＞ 0）とおくことで球の中心座標を表すことができます。
「座標平面に接する」のは、(r, r, r)だけとは限りません。
(-r, r, r)や (r, -r, r)などという選択肢もあります。
なので、敢えて r＞ 0としているとも。＾＾

ただ、通るべき点(2, 1, 1)が x＞ 0, y＞ 0, z＞ 0の領域にあるので、
(r, r, r)しかダメですよねぇ。という結論になります。

お礼

返事が遅れてしまいました。
的確なアドバイスありがとうございました

補足

簡単そうで軸が三つあると複雑になって混乱してしまいましたが、xy yz zx に分けて考えたら、皆さんのおっしゃってる意味が分かりました。

回答No.3

info22_

点(2,1,1)がx>0,y>0,z>0の領域に存在するので
式で表せば球の方程式は球の中心を(h,h,h)とするとh＞0であり
球が三つの座標平面に接することから
球の中心と３つの座標平面との距離が全てhとなります。
つまり球の中心から各座標平面に下ろした垂線の足が座標平面との接点となり、垂線の長さが半径になります。
したがって球面の方程式は
　(x-h)^2+(y-h)^2+(z-h)^2=h^2 (hは半径でh＞0)　...(★)
とおけます。
球面が点(2,1,1)を通ることから
　(2-h)^2+(1-h)^2+(1-h)^2=h^2
h(＞0)を求めると
　h^2-4h+4+2(h^2-2h+1)=h^2
　2h^2-8h+6=0
　2(h-1)(h-3)=0
　∴h=1,3
(★)にこれらのhを代入すれば球面の式が得られます。

条件を満たす球面は半径1と半径3の２通り存在します。

お礼

いつも助かっております。ここの回答者様方には、ありがたく思ってます。

おかげで理解することが出来ました。

回答No.1

f272

三つの座標平面に接する球の中心から，それぞれの座標平面に下した垂線の長さは球の半径に等しい。つまり球の中心は(h,h,h)で半径はhということになる。

お礼

ご回答ありがとうございました。
う～んん…という感じですが、ご回答をじっくり考えてみようと思います