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ポリアの壷
staratrasの回答
- staratras
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No.13&17 です。１３へのお問い合わせにお答えします。 Q1:n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっていてかつn回目の試行では赤を引いた確率が(Pn-1)×((n-1)/(n+1))だとわかるのはなぜですか？ n回目の試行後に白玉が2個の状態になっている確率をPnと決めました。当然n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっている確率はPn-1です。【念のためですがPn-1のn-1は添え字（小さい字）のn-1で、(Pn)-1ではありません。】 このとき袋の中には赤玉がn-1個、白玉が2個の合計n+1個ありますので、この後のn回目の試行で赤を引く確率は(n-1)/(n+1)です。 したがって「n-1回目の試行後に白玉が2個の状態になっていてかつn回目の試行では赤を引く確率」はこの積であるPn-1×((n-1)/(n+1))です。 Q2:n(n+1)Pn =n(n-1)Pn-1+1 以下同様にn(n-1)Pn-1 =(n-1)(n-2)Pn-2+1、 (n-1)(n-2)Pn-2=(n-2)(n-3)Pn-3+1… 中略…3・2・P2 = 2・1・P1+1 というのはなにをしてるんですか？ n(n+1)Pn =n(n-1)Pn-1+1 という漸化式が得られましたが、最終的に求めたいのはPn=なんとか という式です。これを求めるためには右辺のPn-1がじゃまです。これを消すために、漸化式のnをn-1、n-2、n-3…に置き換えた式を作り 、 縦に並べて右辺ごと、左辺ごとの合計を求めます。（左辺合計=右辺合計を計算する）すると下の「」をつけた部分は右辺と左辺の両方にそれぞれひとつずつありますので、まとめて一気に消去することができます。 n(n+1)Pn=「n(n-1)Pn-1」+1 以下同様に 「n(n-1)Pn-1」=「(n-1)(n-2)Pn-2」+1 「(n-1)(n-2)Pn-2」=「(n-2)(n-3)Pn-3」+1 中略 ＋ ） 「3・2・P2」= 2・1・P1+1 ----------------------------------------- 残ったのは左辺はn(n+1)Pnだけ、右辺は1がn-1個と2・1・P1だけですので n(n+1)Pn＝n-1+2・1・P1となり、これからPn=1/n+1 という式にできます。 これはもちろんPn=((n-1)/(n+1))Pn-1 + 1/n(n+1) に Pn-1=(n(n-2))Pn-2 + 1/n(n-1) Pn-2=((n-1)(n-3)Pn-3 + 1/(n-1)(n-2) Pn-3＝…を次々に代入していく方法でも最終的には同じ結果が得られますが、上の並べて足して一気に消去する方法のほうがわかりやすく、ミスも少ないと思います。
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