ポリアの壷

質問

最初、袋の中に1個の白玉と1個の赤玉が入っている 袋の中から1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を2個袋の中に入れる試行を繰り返す この試行を1回行う度に袋の中の玉の数は1個増加する
(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ

n＝2としたとき、白を最初に引く1/2×1/3と赤を最初に引く1/2×1/3を足し、白を最初と後に引く2Ｃ1通りをかけても答えが違います
なぜでしょうか？

回答No.17

staratras

No.13です。この問題はグラフを使って考えるとわかりやすいと思います。

添付した図は、ｘ軸に赤玉の個数、ｙ軸に白玉の個数を示したものです。
最初の状態はそれぞれ１個ずつですので、点Ａ(1,1)に対応します。
ここで１回の試行ごとに、赤か白のいずれか一方が１個だけ増えますので、１回の試行はグラフでは1だけＸ軸またはｙ軸の正の方向（右または上）に移動することに相当します。つまり、x≧1かつy≧1を満たす格子点(ｘ座標y座標がともに整数である点）の一つ一つが試行後のすべての結果に対応することになります。　

ここでn回の試行を行ったあとは赤・白の合計の個数が最初の2個からn個増えているので、結果はすべて直線x+v=n+2の上にあります。グラフはn=1、2、5のときの結果を示しています。(例えば5回の試行後の状態はP,Q,R,S.T,Uのいずれかです）

n=1のとき、試行後の結果はB,Cのいずれかで、その確率は明らかに1/2ずつです。
n=2のとき　試行後の結果はD,E,Fのいずれかです。
　　　　　D,Fとなる確率は、A→B→D　A→C→F　の確率なのでそれぞれ1/2・2/(2+1)=1/3ずつです。
　　　　　またEとなる確率は　A→B→E　と　A→C→E の確率の和なので、1/2・1/(1+2)+1/2・1/(2+1)=1/6+1/6=1/3

この結果から、n回の試行の後のすべての場合(結果）について起こる確率は1/n+1で、すべて等しいのではないかと考えられます。以下数学的帰納法でこのことを示します。

n=kのとき
k回の試行を行った後の結果は、x≧1かつy≧1を満たす直線x+v=k+2の上の格子点k+1個に対応します。このk+1個の点に移動する確率がすべて1/k+1で等しいと仮定します。

n=k+1 のときを考えます、結果はx≧1かつy≧1を満たす直線x+v=k+3の上の格子点k+2個に対応します。

両端の　x=1またはy=1のときはそれぞれ　点(1,k＋1)、点(k+1.1)からの移動しかない（前者は下からの移動、後者は左からの移動だけしかない）ので、確率は(1/k+1)・((k+1)/(k+2))=1/k+2 です。

両端以外のときは、下からと左からの2方向からの移動があり、確率はこの両者の和です。

x+y=k+3 上にあってx≧2かつy≧2を満たす格子点Z(x.y)を考えますと、下から移動してくる確率は(1/k+1)・(y-1/k+2)、左から移動してくる確率は(1/k+1)・(x-1/k+2)なので

Zに移動する確率=(1/k+1)・(y-1/k+2)+(1/k+1)・(x-1/k+2)=(x+y-2)/(k+1)(k+2)=(k+1)/(k+1)(k+2)=1/k+2 (∵x+y=k+3）

よってn=k+1のすべての場合について　とる確率は　1/k+2　です、

以上をまとめますと、n=1　のときに成り立ち、n=k のとき成り立てばn=k+1のときも成り立つ、つまりすべての1以上の整数nについて成り立つことがわかります。

（No,13の下から6行目の誤記の訂正）

（誤り）3・2・P2 = 2・1・P1
（正）　3・2・P2 = 2・1・P1+1

お礼

分かりました 回答ありがとうございました