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ポリアの壷
MagicianKumaの回答
- MagicianKuma
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できる限り言葉での説明にトライしてみます。（成功すれば良いけど） まず、n回の試行で白をa回、赤をb回引いたとします。b=n-aです。 一例として 白白赤白赤・・・白赤 が起こる確率pを求める場合、 1回ごとに全体の玉の数が＋１していきますので、p=?/2 * ?/3 * ?/4 * ・・・ ?/(n+1) となり、分母は 2*3*4*5*・・・*(n+1) になりますね。 じゃぁ分子はどうなるのかというと、 白を取るときの確率の分子の部分は、そのときの白の個数ですね。白を取ると白の個数が＋１されます。最初に1個ありますから、 白を取るところの確率は、1/? 2/? 3/? ・・・ a/? 同様に 赤を取るところの確率は、1/? 2/? 3/? ・・・ b/? です。 これらをまとめると、分子=1*2*3*・・・*a * 1*2*3*・・・*b＝a!*b! 分母=2*3*4*・・・*(n+1)＝(n+1)! 確率=a!*b!/(n+1)!となります。これは白、赤の出現位置がどうであれ、同じように計算できるますね。 つまり、白白赤白赤・・・白赤 でも 白赤白白赤赤・・・白白 でも引く個数aが同じなら 全て同じ確率です。 では、白をa個引くパターンは何通りあるかというと、n回のうちどこかでa回引く訳ですから、nCa です。 結果：白をa回引く確率(白の個数がa+1になる）は nCa *a!*b!/(n+1)! = n!/(n-a)!/a!*a!*b!/(n+1)! = 1/(n+1) この結果はaに関わらず、nのみで決まります。最終的に白石の数がk個となっている確率P(k)はP(1)=P(2)=P(3)=・・・＝P(n+1) ＝1/(n+1) 蛇足： 最初この問題を見たとき、最初に白を引けば、白が増え、次に白を引く確率が増えていく、なので白赤の数が一方に偏った方向にいきやすく、白赤の数が五分五分になる確率は小さいと直感的に思ったのですが、計算すると、どの状態も等しい確率で起きることはわかって、へぇ！おもろいな！と思いました。 以上
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わかりやすいのですが 「1回ごとに全体の玉の数が＋１していきますので、p=?/2 * ?/3 * ?/4 * ・・・ ?/(n+1) 白を取るところの確率は、1/? 2/? 3/? ・・・ a/? 同様に 赤を取るところの確率は、1/? 2/? 3/? ・・・ b/? です。」 と文字化けして何が書いてあるか分からないのでできたら補足していただきたいです