サイコロ 確率

質問

1つのサイコロをn回投げる試行において、出た目がすべて奇数でかつ1の目がちょうどk回(0≦k≦n)出る確率をＰkとする
(1)n＝3m+2(mは自然数)とする Ｐkが最大となるkをmで表せ

Ｐk＝n!/(2^k・3^n・k!(n-k)!)
Ｐk/Ｐk+1＝2(k+1)/(n-k)＝2(k+1)/(3m+2-k)
までは求めたのですがここからが分かりません 教えてください

回答No.5

hrsmmhr · ベストアンサー

この問題の場合Pk/Pk+1はkが増える毎に増えていきます
それは比で考えるとPk+1がPkに比べて小さくなっていくということです
従って1を越えた時点でPk+1はPkより小さく以降
のPk+l(l>1)はPkを越えません
だからPkが最大値だと言えるようになります

お礼

そうなんですか ありがとうございました

回答No.4

hrsmmhr

補足に書かれた事とは違うかもしれませんが…

ｍがあるからないから解ける解けないのではなく、
不等式を整理してｋとｍの関係式を導くのです
関係式を導いたらそれが答えです

どうしても分からなければ、ｍに１とか２とか数値を入れて計算してみてください
要領が分かるかもしれません

補足

関係式を導くんですね 分かりました
ただ、Ｐk/Ｐk+1＞1のときＰkが最大だと教科書には書いてあるのですがなぜ1≦Ｐk/Ｐk+1なのでしょうか？

回答No.3

nag0720

＞なぜ6(m+1)/(3m+2-k)-2となるのでしょうか？

実際に計算してみたらいいでしょう。
通分くらいできるでしょ。

＞また、mがあるからいつＰk/Ｐ(k+1)≧1となるか分からないのですが、求め方を教えてください

2(k+1)/(3m+2-k)≧1
この不等式が解けない？

だったら、
2(k+1)/(3m+2-k)＝1
この等式も解けない？

kを変数、mを定数として解くだけです。

補足

6(m+1)/(3m+2-k)-2＝(6m+6)/(3m+2-k)-2/(3m+2-k)＝(6m+4)/(3m+2-k)
＝2(3m+2)/(3m+2-k)

2(k+1)/(3m+2-k)と見比べてみるとk+1＝3m+2になっていますがなぜk+1＝nだとわかるのでしょうか？

不等式を解けばいいんですね 分かりました ありがとうございました

回答No.2

nag0720

Ｐk/Ｐ(k+1)＝2(k+1)/(3m+2-k)＝6(m+1)/(3m+2-k)-2
なので、0≦k＜nの範囲では、
Ｐk/Ｐ(k+1)は、k=0のとき最小で、そのあとは単調に増加しています。

一方、
Ｐ0/Ｐ1＝2/(3m+2)＜1
Ｐk/Ｐ(k+1)＜1　なら、Ｐk＜Ｐ(k+1)
Ｐk/Ｐ(k+1)＞1　なら、Ｐk＞Ｐ(k+1)
だから、
Ｐkは、はじめは増加していて、初めてＰk/Ｐ(k+1)＞1　となるkで減少し、その後もさらに減少していきます。

つまり、Ｐk/Ｐ(k+1)≧1となる最小のkを調べれば、そのkが求めるものとなります。
もし、Ｐk/Ｐ(k+1)＝1　なるkがあるなら、Ｐk＝Ｐ(k+1)なので、kとk+1が求めるものとなります。

補足

Ｐk/Ｐ(k+1)＝2(k+1)/(3m+2-k)から
なぜ6(m+1)/(3m+2-k)-2となるのでしょうか？
また、mがあるからいつＰk/Ｐ(k+1)≧1となるか分からないのですが、求め方を教えてください

回答No.1

hrsmmhr

どこかでk→k+1によってPkが増加から減少に変わるkがあってそれがPkの最大となるkです
Pk/Pk+1なら１以下だったのが１以上に変わるところになります

補足

mがあると分からないのですが、教えてください