解方が理解できません

質問

ある三次方程式を　x+1　で割ると　1　あまり　（x+2）＾2　で割ると　x+3 あまるときf(-1) と f(－2) の値を求めよ

x+1　で割ると　1　あまる
f(x)＝（ｘ＋１）（ａｘ^2＋ｐｘ＋ｑ）＋１

（x+2）＾2　で割ると　x+3 あまる
f(x)＝（ｘ＋２）^2（ａｘ＋ｒ）＋（ｘ＋３）

ｆ（－１）＝１
ｆ（－２）＝－２＋３＝１

これどういうことですか？
a,p,q,rはなんですか？

回答No.1

ferien · ベストアンサー

x+1　で割ると　1　あまる
f(x)＝（ｘ＋１）（ａｘ^2＋ｐｘ＋ｑ）＋１

（x+2）＾2　で割ると　x+3 あまる
f(x)＝（ｘ＋２）^2（ａｘ＋ｒ）＋（ｘ＋３）

＞ｆ（－１）＝１
＞ｆ（－２）＝－２＋３＝１

前回この問題に解答した者です。

＞x+1　で割ると　1　あまる
＞f(x)＝（ｘ＋１）（ａｘ^2＋ｐｘ＋ｑ）＋１
３次式を１次式（ｘ＋１）割ったので、商が２次式（ａｘ^2＋ｐｘ＋ｑ）になったということです。
f(x)＝（ｘ＋１）Ｐ（ｘ）＋１　……（１）と書けば、商が何次式になるか気にしなくてもいいので、
この方がいいのかもしれません。
ｘ＝－１を代入すると、
ｆ（－１）＝（－１＋１）Ｐ（－１）＋１＝０＋１＝１です。
＞（x+2）＾2　で割ると　x+3 あまる
＞f(x)＝（ｘ＋２）^2（ａｘ＋ｒ）＋（ｘ＋３）
３次式を２次式（ｘ＋２）^2で割ったので、商が１次式（ａｘ＋ｒ）になったということです。
これも、以下のようにすると商が何次式か気にしなくていいです。
f(x)＝（ｘ＋２）^2Ｑ（ｘ）＋（ｘ＋３）……（２）
ｘ＝－２を代入すると、
ｆ（－２）＝（－２＋２）^2Ｑ（－２）＋（－２＋３）＝０＋（－２＋３）＝１
です。

＞これどういうことですか？
上の説明の通りです。分からなければ質問お願いします。
＞a,p,q,rはなんですか？
（１）（２）のように表せば、関係ない文字です。

でどうでしょうか？

回答No.3

FT56F001

27を4で割ると，商が6で3余る。
ということは，
27=4*6+3
ということですね。

一般に，AをBで割ると，商がsで余りがr
というとき，
A=B*s+r
の式が作れます。

「三次式f(x)をx+1で割ると1余る」
三次式を一次式(x+1)で割ったのだから，商は二次式です。
これをax^2+px+qと置きましょう。
すると，
f(x)=(x+1)(ax^2+px+q)+1
と書けます。

回答No.2

kaztel-D4C

初めに、割られる数をA、割る数をB、商をC、余りをDとおくと、
A=BC+Dという等式が組めるという事実を使います。

上の関係より、f(x)＝（ｘ＋１）（ａｘ^2＋ｐｘ＋ｑ）＋１・・・(1)が出るのですが、
f(x)は三次方程式という仮定と、余りが1ということより、
割る数と商の積で三次式にしておく必要があります。(1を足しても次数を上げれない)
今、割る数がx+1ですから、これに何次式をかければ三次式が出るかというと、二次式をかける必要があります。
よって、x+1に、二次式の一般的な形であるax^2+px+qをかけています。

同様にして、f(x)＝（ｘ＋２）^2（ａｘ＋ｒ）＋（ｘ＋３）・・・(2)も、
三次式を(x+2)^2という二次式で割るので、商は一次式でないと、余りが一次式であることも含めf(x)が三次式になりません。
よって、一次式の一般的な形である、ax+rをかけています。

あとは、x=-1,-2を代入しますが、(1)にx=-1,(2)にx=-2を代入すれば、きれいな値が出てきます。

a,p,q,rについてですが、商を一般的な形で書くので、その係数に使っているだけです。
ただ、aが(1),(2)両方に出ているのは、
(x+1)(ax^2+px+q)と(x+2)^2(ax+r)を展開した時、お互いに三次の項はax^3のみですから、初めから同じ文字を使用していれば良いからです。
(2)をf(x)=(x+2)^2(bx+r)+(x+3)としても間違いないですが、展開して(1)と係数比較すれば、結局a=bなので、片方の文字は必要無くなります。