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数Bベクトルの問題の解説をお願いします。
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座標空間において、3点A(0,-1,2),B(-1,0,5),C(1,1,3)の定める平面をαとし、原点Oからの平面αに >垂線OHを下ろす。 平面αの方程式をax+by+cz+d=0とおく。 Aを通るから、-b+2c+d=0 Bを通るから、-a+5c+d=0 Cを通るから、a+b+3c+d=0 a,b,cをdで表すと、 a=(-1/2)d,b=(2/5)d,c=(-3/10)d よって、平面の法線ベクトルは、n=(-1/2,2/5,-3/10) OHベクトルは、nに平行だから、OH=knとおくと、 OH=((-1/2)k,(2/5)k,(-3/10)k) >(1)AH↑=sAB↑+tAC↑を満たすs,tを求めよ。 AH=((-1/2)k,(2/5)k+1,(-3/10)k-2) AB=(-1,1,3),AC=(1,2,1)と与式より、 (-1/2)k=-s+t, (2/5)k+1=s+2t, (-3/10)k-2=3s+t を連立方程式で解いて、s=-(3/5),t=2/5 >(2)点Hの座標を求めよ。 (1)の連立方程式から、k=-2 OHの式へ代入して、 OH=(1,-4/5,3/5) >(3)四面体OABCの体積を求めよ。 AB^2=(-1)^2+1^2+3^2=11 |AB|=ルート11 同じく|AC|=ルート6 BC=(2,1,-2)より、|BC|=3 余弦定理より、cosA=4/ルート66から、sinA=5/ルート33 △ABC=(1/2)×ルート11×ルート6×(5/ルート33)=5ルート2/2 |OH|=ルート2 四面体の体積は、(1/3)×(5ルート2/2)×ルート2=5/3 でどうでしょうか?
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- alice_44
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なんちゃって計算法: とりあえず、外積 (→n) = (→AB)×(→AC) を計算する。 この →n が α の法線ベクトルになる。 (2) (→OH) = r(→n) と置いて、これを α の方程式 (→n)・(座標) = (→n)・(→OA) に代入すると、 r の値が決まって、H の座標が判る。 (1) →OH が判ってしまえば、 (→AH) = s(→AB)+t(→AC) を成分ごとに見て、 s, t の連立一次方程式を解けばよい。 (3) △ABCの面積は |→n| なので、 体積は (1/3)|→n||→OH|。
お礼
ありがとうございました。
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
(1)ベクトルAB=(-1,1,3), ベクトルAC=(1,2,1) ベクトルAH=(-s+t, s+2t, 3s+t ) ベクトルOH=ベクトルOA+ベクトルAH=(-s+t, s+2t-1, 3s+t+2 )・・・* ベクトルOHとベクトルABの内積=0 ベクトルOHとベクトルACの内積=0 よりs , t の連立方程式をつくり,解け。 (2)*にs , t の値を代入すればよい。 (3)高さはOH 底面は△ABC 面積は(1/2)√{|AB|^2・|AC|^2-(ベクトルAB,ACの内積)^2} で計算。
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ありがとうございました。
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