無理関数の微分

質問

無理関数の微分

y=3乗根x を逆関数の微分で解きなさい。ただし x >0 　　　　という問題があります。

解くのは簡単なのですが、xの定義域が気になりまず。別に x　>0に限定する必要はないと思うのですが、いかがですか？さらに、x　>0に限定する明確な理由をご存知の方は是非ご教授下さい。
また、y=3乗根x を無理関数と呼んでよかったんでしたっけ？その辺もご教授頂けたら幸いです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>xの定義域が気になりまず。別に x　>0に限定する必要はないと思うのですが、いかがですか？
　平方根の場合
　　４の平方根　x^2=4, x=±2ですが
　　２の平方根の場合　x^2=2の根で　x=√2(正の方）,-√2(負の方）
　　と√の記号の使い方（平方根の正の方を表し、負の方は「-√」で表すと
　　決められています（高校数学）。
　平方根の記号を　「[2]√」、立方根（3乗根）の記号を「[3]√」で書くとすると
　　[2]√4の正の方を√2,[2]√4の負の方を-√2で表しますが
　　[3]√8の３つの値の表し方には３乗根記号については特に定められていません。
　　便宜上、8^(1/3)=2としたりしてますが8^(1/3)=-1±i√3でも構いません。
　３乗根（立方根）の内、高校数学では、実数のものを2^(1/3)と書くと決める（確定する）
　　ため、x^a(aは非整数）でxの定義域をx>0と定めて
　　x＾(1/3)や2^(1/3)(>0)を一意的に確定するようにしています（高校数学では）。
　なので
　x^(1/3)のxは高校数学では混乱を避けるためx>0を定義域としています。
　x^aがどのような数を表すかといった数学的な混乱を避けるためにaが整数でない場合
　x>0を定義域（高校数学）としていますが、混乱がなければ数学的にx>0といった
　定義域を設けなくても支障はないですから大学数学では特にx>0なる定義域を設けず。
　混乱が起こる場合はその都度対処して解決すれば良いと言うことですね。
　従って実数xの関数[3]√x=x^(1/3)の定義域も実数の範囲としても特に不都合なこと
　はありません。微分して、指数べきが負になった場合は実数の定義域にx≠0の条件を
　つけて導関数の定義域とする臨機応変な定義域の変更をし対処します。

高校数学以下では
３乗根xの関数はx^(1/3)など指数べきが分数指数の場合も、
平方根内に「変数や変数を含む多項式」を含む場合と併せて
無理関数として扱います。
参考URL
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_irrational.html

なお、大学数学では、拡張につぐ拡張や新たな定義がなされて、数学が扱う分野が拡大していきますので、論理的矛盾がなければ、何でもありとして、発展して行くのが実情かと思います。
定義、公理、定理と証明と言ったことが繰り返されて数学の新分野が作られて行ます。

お礼

懇切丁寧な解説ありがとうございました。大変参考になりました。l今後もよろしくお願い到します。

　＞　^a(aは非整数）でxの定義域をx>0と定めて
　＞　x＾(1/3)や2^(1/3)(>0)を一意的に確定するようにしています（高校数学では）。
　＞なので
　＞x^(1/3)のxは高校数学では混乱を避けるためx>0を定義域としています。

　ということは、x＾(1/3)＝x＾(2/6)としてもいいのですね？

補足

＞　^a(aは非整数）でxの定義域をx>0と定めて
　＞　x＾(1/3)や2^(1/3)(>0)を一意的に確定するようにしています（高校数学では）。
　＞なので
　＞x^(1/3)のxは高校数学では混乱を避けるためx>0を定義域としています。

　ということは、x＾(1/3)＝x＾(2/6)としてもいいのですね？

回答No.3

alice_44

y=(xの３乗根) ⇔ x=(yの３乗) ですから、
(xの３乗根) を実数 x に対して定義することは、
問題ないどころか、極自然なことですが、
そうして定義された (xの３乗根) は、x=0 では
微分不可能な関数です。
微分可能性について言及しなくても済むように
配慮して、x>0 の範囲での微分について書けと
要求しているのでしょう。
問題の難易度調整のためだと思いますよ。

「無理関数」という言い方は、あまり聞きません。
その言い方で、有理関数でないことは伝わるけれど、
どこまで広く「無理関数」に含むのかが、決めにくい
のではないかと思いますが…

回答No.1

noname#175206

>y=3乗根x を逆関数の微分で解きなさい。ただし x >0

y = x^(1/3)
x = y^3
dx/dy = 3y^2
dy/dx = 1/3y^2
dy/dx = 1/3(x^(1/3))^2
dy/dx = 1/3(x^(2/3) = x^(-2/3)/3

　えっと、合ってますでしょうか。x＝0（このときy＝0）以外でしか成り立ちませんね。　よく計算違いするものですから、どうも不安ですので、別方法で検算してみます。

y = x^(1/3)
dy/dx = (1/3)(x^(-2/3)) = x^(-2/3)/3

　うーん、どうも大丈夫な気がします。

　x≠0とするか（→　x＞0またはx＜0、は等価ですけど、まあ簡単なほうが選ばれるでしょう）、x＞0とするか、x＜0とするか、出題者の意図次第でしょうね。

　dy/dxは、xが同じ絶対値なら正負に関係なく同じですね。
　後で、この設問で出てきた結果を使うか、x＜0でも同じことだから省略したのか。
　あまり気にする必要はないでしょう。

　有理関数は、分数形式を含む多項式で、たとえば含まれるx^nでnが整数でなければ有理関数ではないですね。x^(±1/3)なら無理関数ということでいいでしょう（と思う）。