場合の数の問題です

質問

８人を４組に分けることを考える
なお、どの組にも少なくとも１人は属するものとする

（１）４組に分ける場合の数
（２）ある２人が同じ組に入る場合の数
（３）ある３人が同じ組に入る場合の数

教えてください

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

（１）４組に分ける場合の数
４組に分ける人数の組み合わせは、
５，１，１，１
４，２，１，１
３，３，１，１
３，２，２，１
２，２，２，２
の５通り。
それぞれを８人で振り分ける分け方の数は、
５，１，１，１　は　８Ｃ５＝５６
４，２，１，１　は　８Ｃ４×４Ｃ２＝４２０
３，３，１，１　は　８Ｃ３×５Ｃ３／２＝２８０
３，２，２，１　は　８Ｃ３×５Ｃ２×３Ｃ２／２＝８４０
２，２，２，２　は　８Ｃ２×６Ｃ２×４Ｃ２／２４＝１０５
計　１７０１通り

（２）ある２人が同じ組に入る場合の数
２人で１人とみなして、７人を分けるとすると、
４，１，１，１　は　７Ｃ４＝３５
３，２，１，１　は　７Ｃ３×４Ｃ２＝２１０
２，２，２，１　は　７Ｃ２×５Ｃ２×３Ｃ２／６＝１０５
計　３５０通り

（３）ある３人が同じ組に入る場合の数
３人で１人とみなして、６人を分けるとすると、
３，１，１，１　は　６Ｃ３＝２０
２，２，１，１　は　６Ｃ２×４Ｃ２／２＝４５
計　６５通り

別解

（１）４組に分ける場合の数
組を区別して、０人の組があってもいい場合の分け方の数は、４＾８通り
そのうち、３組が０人になる場合の数は、４通り
２組だけが０人になる場合の数は、６×（２＾８－２）通り
１組だけが０人になる場合の数は、４×（３＾８－３×（２＾８－２）－３）通り
よって、どの組も１人以上いる場合の数は、
４＾８－４×（３＾８－３×（２＾８－２）－３）－６×（２＾８－２）－４
組を区別しないわけ方は、これを４！＝２４で割ればいいので、
４組に分ける場合の数は、
（４＾８－４×（３＾８－３×（２＾８－２）－３）－６×（２＾８－２）－４）／２４＝１７０１

（２）ある２人が同じ組に入る場合の数
（４＾７－４×（３＾７－３×（２＾７－２）－３）－６×（２＾７－２）－４）／２４＝３５０

（３）ある３人が同じ組に入る場合の数
（４＾６－４×（３＾６－３×（２＾６－２）－３）－６×（２＾６－２）－４）／２４＝６５

お礼

ありがとうございました

上のやり方を参考にさせていただきます

回答No.2

yyssaa

１問回答します。
（１）４組に分ける場合の数
各組に１人ずつ入れて、残り４人を４組に分ける分け方は
4,0,0,0、3,1,0,0、2,2,0,0、2,1,1,0、1,1,1,1　の５通り。
従って８人を４組に分ける分け方は
5,1,1,1、4,2,1,1、3,3,1,1、3,2,2,1、2,2,2,2　の５通り。

４組を区別する場合は、
5,1,1,1については５人をどの組にするかで４通り。
4,2,1,1については４人と２人をどの組にするかで、2*4C2=2*6=12で１２通り。
3,3,1,1については３人と３人をどの組にするかで、4C2=6で６通り。
3,2,2,1については３人と１人をどの組にするかで、2*4C2=2*6=12で１２通り。
2,2,2,2は１通り。
よって８人を４組に分ける分け方は４＋１２＋６＋１２＋１＝３５通り。

さらに、８人を区別する場合は、
5,1,1,1については(8C5)*3!=336　→　336*4=1344通り
4,2,1,1については(8C4)(4C2)*2=840　→　840*12=10080通り
3,3,1,1については(8C6)(6C3)*2=1120　→　1120*6=6720通り
3,2,2,1については(8C3)(5C2)(3C2)=1680　→　1680*12=20160通り
2,2,2,2については(8C2)(6C2)(4C2)=2520通り
よって例えばa、b、c、d、e、f、g、hの８人をA、B、C、Dの４組に
分ける場合の場合の数は、1334+10080+6720+20160+2520=40814から
４０８１４通りになりました。