数学の質問です

質問

2つの球体 x^2 + y^2 +z^2 ≦ 3 と　x^2 + y^2 + (z-1)^2 ≦ 1
の共通部分の体積と表面積を求めよ

という問題なのですが、球と円柱の共通部分の体積の場合と違って、両方の式にzが登場しているため、よくわからないです。
どなたかご教授のほど、よろしくお願いします。
センター試験の問題ではないのでご安心ください！

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

共通部分の立体がz軸対称の回転体になっていることからy=0の面で切断した切断面のx≧0領域D={(x,y,z)|y=0,x^2+z^2<=3,x^2+(z-1)^2<=1,x>=0}を
のz軸の回りの回転体の積分を求めれば良い。
　x^2+z^2=3とx^2+(z-1)^2=1(x>0)の交点は
　(x,z)=(√3/2,3/2)なので
体積V
　=π{∫[0,√3]x^2 dz
　=π{∫[0,3/2} (1-(z-1)^2)dz+∫[3/2,√3] (3-z^2)dz}
この積分なら出来るでしょう。途中計算はやってみて下さい。
計算結果は
V=2π(√3)-(9π/4)
となります。

次に表面積Sは回転体の表面積の公式を使って
　0<=z<=3/2の時
　　x=√(1-(z-1)^2)
　　dx/dz=(1-z)/√(2z-z^2)
　　√(1+(dx/dz)^2)=1/√(2z-z^2)
　3/2<=z<=√3の時
　　x=√(3-z^2)
　　dx/dz=-z/√(3-z^2)
　　√(1+(dx/dz)^2)=(√3)/√(3-z^2)
表面積S
　=2π∫[0,√3]√(1+(dx/dz)^2)dz
=2π{∫[0,3/2} dz/√(2z-z^2) +∫[3/2,√3] (√3)dz/√(3-z^2)}
この積分の途中計算はやってみて下さい。
計算すると
表面積S=2π{(2π/3)+(π/(2√3))}=(4+√3)(π^2)/3

共通部分の立体の形状をプロットしたものを添付します。

お礼

計算過程までありがとうございます！ただ、表面積は3π（3-√3）になりました。

回答No.2

WiredLogic

＞センター試験の問題ではないのでご安心ください！

確かに、センター試験だと出せない問題ですね^^

＞という問題なのですが、球と円柱の共通部分の体積の場合と違って、両方の式にzが登場しているため、よくわからないです。

実は、球どうしの方が、むしろ簡単かもしれません。
こんな具合に考えます。

x^2 + y^2 +z^2 ≦ 3 は、中心(0,0,0)、半径・√3の球(表面とその内部)
x^2 + y^2 + (z-1)^2 ≦ 1 は、中心(0,0,1)、半径・1の球(表面とその内部)

２つの中心(0,0,0),(0,0,1)を含む平面で切った断面は、
球を中心を含む面で切った断面は、常に円で、
√3 - 1 (半径の差) ＜ 1 (中心間の距離) ＜ √3 + 1 (半径の和) なので、
２点で交わる２円になり、共通部分は、
弓形(扇形から、二等辺三角形を除いた形)を２つくっつけた形。
これを、中心を結んだ直線の回りに１回転させると、
２つの球の共通部分が出てきます。

図を考えるだけなら、２つの中心を含む平面なら、何でもいいのですが、
計算には、座標が求めやすい方がいいので、xz平面か、yz平面で切った断面で
考えます。xz平面で切ることにすると、あとは、平面座標だけで考えればよくて、

中心(0,0)半径√3の円、中心(0,1)半径1の円を描いて、(座標はx,z)
２円の共通部分をz軸回りに回転させた立体の体積・表面積を求める。
球と円柱の共通部分の体積ができたのなら、これで大丈夫ですよね？

お礼

ご丁寧にありがとうございました！

回答No.1

f272

式を見ると，xとyは同等でzはちょっと違うよね。
だったら簡単のためにx-z平面(y=0)で考えたらどうかな。

お礼

確かにその通りでした！ありがとうございました！