場合の数の問題

質問

正十二角形をDとする。
Dに正方形が内接している。
このとき、正方形とDとで五個の四角形が作られる。
これら五個の四角形のすべてを異なる七色のうち四色を用いて塗る。
辺を共有する四角形には同じ色を塗らないものとし、回転して重なるものは同じ塗り方とみなすとき、全部で何通りの塗り方があるか。

という問題なのですが、どうやって考えたらよいでしょうか？

答えなんですが、問題集の解答の答えは420で、先生に問題集を見せてきいたら1260だといわれました。
もしかしたら曖昧な問題なのかもしれません。

よろしくお願い致します。

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんにちは。
参考URLは正１２角形の形だけですが、内接正方形を内部に描いてみてください。

上下左右に、同じ形の四角形が現れるのが分かると思います。

まず、内接正方形に塗る色を選びます

7C1=7　７とおり

次に、周りの４つの四角形に塗る色を決めます。
４色で塗ろう、というわけですから
内接正方形に１色使っちゃいましたので、残りの６色のうちから３色選ばないといけないです。
その選び方は、

6C3=6*5*4/3*2*1=20　２０とおり

最後に、その３色の塗り方を考えたらいいわけです。
今、選んできた３色を、１，２，３と番号で表すことにしますね。
４つの四角形を３色で塗るわけですから、どれか１色だけ２回使わないといけないわけですよね。
その選び方は

3C1=3　３とおり

（上、左、下、右）と塗る色を表しているものとすると

（１，１，２，３）＝（１，２，３，１）＝（２，３，１，１）＝（３，２，１，１）
これらは同じ塗り方ですね（回転すれば同じ）
（１，１，３，２）＝（１，３，２，１）＝（３，２，１，１）＝（２，１，１，３）
これらも同じ塗り方。
あと
（１，２，１，３）＝（２，１，３，１）＝（１，３，１，２）（３，１，２，１）と同じ
という塗り方があります。
以上の３とおりあるわけですね。

よって、全ての場合を考えれば

７×２０×３×３＝１２６０　とおり、となって先生の答えで正解だと思います。

参考URL：

http://www.hitoyoshi.net/tokumasa/situmon/12kaku.htm

お礼

ご解答ありがとうございます。

問題秀の解答がやっぱり違っているってことでした。
参考にさせていただきます。
どうもありがとうございました！

回答No.4

noname#5537

#2 は誤りです。

例えば，周りの四角形に塗る色として赤白青の3色を選んだ場合に，
それらを123に対応されるやり方がが3通りあるので，
やっぱり，先生のおっしゃる通り1260通りが正しいと思います。

失礼しました。

お礼

ご解答有り難うございました。
電話したら、やはり違っているということでした。
参考にさせていただきます
。

回答No.3

noname#5537

#2 の訂正です。

誤）6色のうち3色を選ぶので，6P3 通りです。
正）6色のうち3色を選ぶので，6C3 通りです。

誤）7×6P3×3 = 420 通り
正）7×6C3×3 = 420 通り

回答No.2

noname#5537

まず，真ん中の正方形に塗る色を選びます。
7色のうちの1色を選ぶので，7通り。

次に，まわりの四角形4つに塗る色を選びます。

まわりの四角形はいずれも正方形と辺を共有しているので，
正方形と同じ色は塗れません。
よって残りの6色の中から色を選ぶことになります。

また，使う色は全部で4色でなければなりませんが，
既に正方形に1色使っているので，
まわりの4角形に使う色は3色です。

6色のうち3色を選ぶので，6P3 通りです。

選んだ3色を周りの4角形に塗ります。この塗り方は，
　　１　　　１　　　１　
　２□１　３□１　３□２
　　３　　　２　　　１　
の3通りしかありません。（固定ピッチフォントで見てください）

よって，
　7×6P3×3 = 420 通り
となります。

回答No.1

kony0

次の２つのパターンがあります。

１．　　２．
　●　　　●
■○□　●○□
　●　　　■

１．について
○・・・７通り
●・・・６通り
■□・・5C2=10通り

２．について
○・・・７通り
●・・・６通り
■□・・5P2=20通り

で、先生のいう1,260通りが正解でしょう。

※図がずれてたら、等幅フォントに変更してみて下さい。

お礼

ご解答ありがとうございます。
この問題集は第三版なのになー。
電話して見たいと思います。
ごかいとうありがとうございました。