- ベストアンサー
証明問題の解説:整数の互いに素な条件の証明
- 整数a,bが互いに素である条件と、整数a,bについてax+by=1となる整数x,yが存在する条件が同値であることを証明する。
- 回答の内容を分けて示し、個別に証明する。
- (1)→(2)と(2)→(1)の証明を行い、整数の互いに素な条件と整数の等式が同値であることを示す。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
関連するQ&A
- 数学の問題がわかりません。
正の数a(1),a(2),…,a(n)に対し,S(n)=(1/n)Σ(n)(i=1)a(i),T(n)=(nル-ト)√(a(1)a(2)…a(n))と定める。 (1) S(2)≧T(2)を示せ。 (2) (1)を用いて, S(4)≧T(4)を示せ。 (3) S(n)≧T(n)が, n=2^(k) (kは自然数)のとき成立するならば, n=2^(k+1)のときも成立することを示せ。 わかる方、できれば詳しく教えてもらえるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の証明問題
数学の論証問題の解き方を教えてください。『次のような条件を満たす集合Aがある。 (i)Aの要素は正の実数である。 (ii)Aは少なくとも2つの要素をもつ。 (iii)p∈A、q∈Aでp≠qならば、 p/q∈Aである。 このとき、次の(1)、(2)の問いに答えるという問題です。 (1)Aは無数に多くの要素をもつことを示す。 (2)1 ∈A、2 ∈Aであるとき、全ての整数nに対して、2^n ∈Aであることを示す。』 以下に自分の解いた過程を書いておきます。 間違っている箇所などのご指摘をお願いします。 (1)Aの要素の個数が有限個であると仮定する。この時、最大の要素をa、最小の要素をbとする。a>1のとき、b/a∈Aなのでbより小さい要素がある。a<1のとき、b/a∈Aなのでaより大きい要素がある。これは最大をa、最小をbとしたことと矛盾する。したがって、Aは無数に多くに要素を持つ。(証明終) (2)数学的帰納法で示す。n=1のとき、2∈Aで成立する。n=kのときに成立すると仮定すると、2^k∈A、2∈Aより、2^k/2=2^(k-1)∈A k→∞で考えていいので全ての整数nについて2^n∈Aが成立する。(証明終)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 式と証明の問題
ある問題で 正の数a1,a2,a3,・・・,anについて、S(n)=(a1+a2+a3+・・・+an)/n, T(n)=(a1*a2*a3*・・・*an)^(1/n)→{(a1*a2*a3*・・・*an)のn乗根です。} とさだめる。 このときS(n+1)≧T(n+1) (n≧1)が成立するならば、S(n)≧T(n)が成立することを示せ。 というものがありました。 解答には、 a(n+1)=S(n) (>0) とおくと、 S(n+1)=(a1+・・・+an+S(n))/(n+1)=S(n) T(n+1)=(a1*・・・*an*S(n))^(1/(n+1)) そしてS(n)^(n+1)≧a1*・・・*an*S(n) ∴S(n)^n≧a1*・・・*an=T(n)^n そしてS(n)≧T(n) となっていたのですが、最初にa(n+1)=S(n)とおいたのがよくわかりません。なぜ問題中で違う数字を一緒にできるのでしょうか。 そのまま計算していくと答えがずれていくような気がします。 なぜこのように仮定して計算、証明できるのか教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 証明
a,bを整数とするとき次の2つの条件(i),(ii)について(i)と(ii)は同値であることを証明する問題です。 (i) a,bはお互いに素である。すなわち、aとbの最大公約数は1である。 (ii) ax(0)+by(0)=1となる2つの整数x(0),y(0)が存在する。 ★(i)⇒(ii)の証明について ○a, 2a, 3a, …, (b-1)aというb-1個のb-1が分かりません。どうしてb-1と考えるのでしょうか? また、b-1ではなくnと置いてもいいですか? ○(1≦k<l≦b-1)の範囲がどのように現れたのでしょうか? ○差la-ka=(l-k)aはbで割り切れると分かるのですか? ○、1≦k<l≦b-1から1≦l-k≦b-2がどうして現れるのか分かりません ○k-lはbで割り切れないのですか? またk-lはどこから現れたのですか? ○kaをbで割った余りが1であるような整数kが存在するのkaはどこから現れたのですか? ○ka-lb=1となるとax(0)+by(0)=1となる2つの整数x(0),y(0)が存在することが分かりません ○x(0)=k,y(0)=-lはどこから出たのですか? ★(ii)⇒(i)の証明 aとbが共通の素因子pをもつと仮定すると、ax+byはいつもpの倍数になるので、ax+by=1となることはない。 ことについてよく分かりません。 例えば数字を使った表現を利用することができるのでしょうか? 数字を使っても証明はできるでしょうか? 沢山質問をしてすいません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列と整数の融合問題?
(1) 実数a,b,cはa<b<cを満たすとする。このときa,b,cを項として含む等差数列が存在するためには、適当な自然数k,tによってb=(ka+tc)/(k+t)と書き表せることが必要十分である。このことを示せ。 (2) nを自然数とする。このとき3つの実数logn,log(n+1),log(n+2)を項として含む等差数列は存在しないことを示せ。 解(2)(1はわかります) この3つの数を含む等差数列があれば、適当な自然数k,tによって log(n+1)={klogn+tlog(n+2)}/(k+t) と表される。 これより、 log(n+1)^(k+t)=logn^k+log(n+2)^t ∴(n+1)^(k+t)=n^k×(n+2)^t …(1) n=1のとき、2^(k+t)=3^tで成立しない。 「 n>1のとき、n+1とnは互いに素でないとすると、 n+1=m(1)p 、n=m(2)pとなる1より大きいpがあって、辺々ひくと、 {m(1)-m(2)}p=1 (p>1)より矛盾する。 よって、n+1とnは互いに素だから(1)は矛盾 よって、題意が成立する。 」 「」の部分がどうもよくわかりません。一応整数関係の問題は一通りやったのですが…。 (1)でn+2に関しては何もしなくてもよいのでしょうか? それと、整数問題ではこの解法自体あまりみたことないので、こういう解法もあると覚えていたらよいのでしょうか? もしもう少し分かりやすい解法があればよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 互いに素である2数の約数について
整数係数のn次多項式の有理解は整数であることを背理法で証明しようとしてます。 sとtが互いに素であるとき t^n=s*k (kはtの多項式で整数) となったときに 「t^nはsを約数に持たないので矛盾する」と言って良いんでしょうか?それとも、使うのであれば証明しなければいけないでしょうか? よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の問題 私の答え 合ってますか?
数列(an )初項a1 から第 n項までの和をSnとあらわす。 この数列が、 (n+2 )an=3Sn を満たす。 数列 anの初項a1が整数である時、Snは、整数であることを示せ。 この問題で、 (n+2 )a(n)=3S(n) (n+1 )a(n-1)=3S(n-1) n≧2 からanを求めて、 (n+2)an =3Sn (n+1)an-1=3Sn-1(n≧2) これから a(n)-a(n-1)=3a(n) a(n)=-1/2a(n-1) 以下 数学的帰納法を用いて n=2 a(2)=-1/2a(1) 整数 n=k a(k) =-1/2a(k-1) コレを整数と仮定すると n=k+1 a(k+1)=-1/2a(k) a(k)が整数なので、a(k+1)も整数 数学的帰納法により すべての自然数で、a(n)は、整数。 よって、 Sn=Σak=a1(1-(ー1/2)^n )/1-(-1/2) コレで、Snも整数であることが示せた これは、正解でしょうか??? お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最大公約数、定理の証明
a,bを a=b=0 でない2つの整数とするとき a*r + b*s =(a,b) のような整数 r,s が存在する --------------------------------------- という定理があって、この定理を使って 次の定理を証明せよ、という問題なのですが… d=(a,b) 整数 n は、 n|d のとき、その時に限り a と b の公約数である … n|d は dはnで割り切れるという意味 どういうふうに導くのかわかりません。 d=(a,b)= a*r + b*s = t*n (tは整数) とおく、ここまで何となくやってみたのですが… 「公約数」であることを示す方法、目標が見えません。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数