累次積分がわかりません

質問

∫∫ydxdy ,D={(x,y)|y/2<=x<=2y, x+y<=1} 　　の問題をかれこれ３時間以上考えていますがまったく答えが合いません。答えは１/１８です。

このままじゃあ、眠れません。どうか皆様お力をお貸しください

出来るだけ詳しい式と解説をよろしくお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

I=∫∫[D} ydxdy ,D={(x,y)|y/2<=x<=2y, x+y<=1}
Dの領域の図を描き、次の２つの領域D1,D2に分割出来ることを
確認してみてください。

D=D1+D2に分割して
D1={(x,y)|x/2<=y<=2x, x<=1/3}
D2={(x,y)|x/2<=y<=1-x, x>=1/3}
と２つの領域に分けると
I=∫∫[D} ydxdy=I1+I2
I1=∫∫[D1} ydxdy
=∫[0,1/3] dx∫[x/2,2x} ydy
=∫[0,1/3] (1/2){4x^2-(1/4)x^2}dx
=(15/8)∫[0,1/3] x^2 dx
=(5/8)(1/3)^3 =5/216
I2=∫∫[D2} ydxdy
=∫[1/3,2/3] dx∫[x/2,1-x} ydy
=∫[1/3,2/3] (1/2){((1-x)^2-(1/4)x^2}dx
=(1/2)∫[1/3,2/3] {1-2x+(3/4)x^2} dx
= … = 7/216
I=I1+I2 =(5/216)+(7/216) = 12/216 =1/18

お礼

まじでありがとうございます。これで気持ち良く英語のテスト勉強できま～す。なんかすっきりして最高です。　　本当にありがとうございます

回答No.4

Tacosan

別法として
1×(2/3)×(2/3)×(1/6) - 1×(1/3)×(1/3)×(1/6) = 1/18
というのもあったね.

回答No.2

ferien

やってみました。　答えが合いました。

積分区間を０≦ｘ≦1/3，ｘ／２≦ｙ≦２ｘ　と　1/3≦ｘ≦2/3，ｘ／２≦ｙ≦１－ｘで
ｙから積分する。

回答No.1

Tacosan

とりあえず, 積分領域をてきとうに分割したら出た.

「かれこれ３時間以上考えていますがまったく答えが合いません」ということですが, あなたが何をどう考えてどのような答を得たのか書いてみる気はありませんか?