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a∈P ⇔ f(a)∈f(P)
松坂さんの『集合位相論入門』からの質問です。 f:A→Bの写像 PはＡの任意の部分集合として、a∈Pとなるf(a)の全てを集めた集合をf(P)と定義しています。 (p30) ここで、a∈P ⇔ f(a)∈f(P)は成り立ちますか？
- statistics_road
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- inuhou0810
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No.1です。 No.2の方が具体例を挙げていますが、一応。 f(a)∈f(P) ⇒ a∈P これの仮定はあくまでf(a)∈f(P)であり、実はaについては特に問われていません。 そして結論は「f(a)∈f(P)のaがすべてPに属しないといけない」ということです。この「すべて」がポイントです。 この写像は単射とは限らないのでf(a)に写る要素も一つとは限りません。 そして、定義から少なくとも一つはPに属している要素になります。逆に言うと、それさえ満たせば、あとはPに属さない要素をf(a)に写しても構わないのです。 なので、この命題は成り立つとは限りません。
お礼
回答ありがとうございます。皆さんの協力のおかげで解決しました。 これからもご教示いただけると嬉しいです。
- Tacosan
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f(x) として定数関数をもってくれば自明でしょう.
お礼
回答ありがとうございます。定数関数をが反例となっているんですね。解決しました！
たとえば、 Pを正の実数全体 f(x)=x^2（xの2乗） a=-1 のときを考えてみてください。
お礼
具体的な関数で考えるのですね。解決しました！
- inuhou0810
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a∈P ⇒ f(a)∈f(P) は定義より明らか。 f(a)∈f(P) ⇒ a∈P ですが、これは成り立つとは限りません。 反例も簡単です。 f(a)=f(b)となるような集合Pに含まれないb∈Aを持ってこればいいだけです。
お礼
回答ありがとうございます。反例がいまいちわからないです…。 f(a)=bとなるような集合Ｐに含まれないb∈Ａを持ってきたとしたら それはf(a)∈f(P)という仮定に反しませんか？
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お礼
とてもよくわかりました！ありがとうございます！！