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三角関数の不等式の証明
現在解析の本を読んでいるのですが、 証明の途中で |1-cosx| + |x-sinx| ≦ min( 2|x| , x^2 ) という式が出てきました。 テーラー展開を使えば示せるといったことが書かれているのですが、どうもうまく示せません。 cosx,sinxをテーラー展開したらそれぞれ第一項が1,xになるのはわかるのですが、 残りの部分をどう処理すればこのような式になるのでしょうか…。 お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。
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- buturikyou
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- stomachman
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テイラー展開使わなくてもできるんじゃないかな． まず，問題の不等式はxを-xに置き換えても全く同じ．だから，x≧0についてだけ証明すれば十分であることは明らか． 次に、三角関数の性質から |1-cos(x)|=1-cos(x)≦2 |x-sin(x)| ≦ x-1 であるから， |1-cos(x)| + |x-sin(x)| ≦|x+1|+2 なのでx≧3のとき |x+1|+2≦min(2|x|, x^2) であるのは明らか． 従って， 0≦x＜3の範囲で与式が成り立つことを言えば十分．その範囲では |1-cos(x)|+|x-sin(x)| =1-cos(x)+x-sin(x) =1+x-(cos(x)+sin(x)) = 1+x-(√2) sin(x +π/4) が成り立つ． なので0≦x≦3のとき 1+x-(√2) sin(x +π/4) ≦2x 1+x- (√2) sin(x +π/4) ≦x^2 を言えば、すなわち 1-x≦ (√2) sin(x +π/4) …(1) 0 ≦(√2) sin(x +π/4)-(1+x- x^2) …(2) を言えば十分． (1)は出来るでしょう． (2)は f(x)=(√2) sin(x +π/4)-(1+x- x^2) とおくと，f(0)≧0は明らか．そこで，「0≦x≦3ならばf'(x)≧0である」ということを示す．そうすると，f(x)は0≦x≦3で単調増加であり，従って，(2)が成り立つ．
補足
わかりやすい解答ありがとうございます。 しかしながら ＞ 1-x≦ (√2) sin(x +π/4) …(1) をうまく示すことができません。 これはそんなに簡単に示せるものなのでしょうか。
- hugen
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