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一次変換の問題です
座標平面上に相違なる4点P1P2P3P4があり、一次変換fにより、P1→P2 P2→P3 P3→P4と移されるものとする。 また、P2P3P4は同一直線L上にあるとする。 (1) f:P4→P5とするとき、P5は直線L上にあることを証明せよ (2) f:P0→P1となる点P0が存在すれば、点P1は直線L上にあることを証明せよ (3) 直線Lが原点を通らないならば、点P1は直線L上にあることを証明せよ。 よろしくお願いします。
- arcturus12
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#1です。 だいぶ時間が経ってしまいましたが、(2)と (3)に対するコメントがなかったので。 以下、式中での Pnはその点の位置ベクトルを表し、1次変換を表す行列を Aとします。 (2) P0が存在すれば、P1= AP0と表すことができます。 同様に、P2= A^2P0、P3= A^3P0、P4= A^4P0となります。 P2~P4の関係(一直線上にあること)に代入すると、AP0= (定数)*P0という関係が導かれます。 あとは、P1-P2が P3-P2の定数倍となることを示せばよいです。 (3) 点P0が存在することが示せればよいです。 「直線Lが原点を通らない」ことをどう表すかですが、 たとえば、直線上にある 2点P2、P3を考えると、ベクトルP2と P3は1次独立であると言うことができます。 (逆に、直線Lが原点を通ると、1次独立ではなくなる。) もし、P0が存在するならば、 P0= α*P2+ β*P3 (α, βは実数) と表せるはずです。 このようなα、βが存在することを示します。 上式の両辺に行列 Aを 2回かけていくと、P2~P4の式になります。 P4を P2, P3を用いて表すことで、P2とP3の関係式が導かれます。 あとは、連立方程式の解として、α、βが導かれることを示します。 示すべきこと自体を言い換えるのは難しくないですが、それを示すのは結構大変になる気がします。
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- naniwacchi
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こんにちわ。 過去に同じ問題が出ていました。 ご参考まで。 http://okwave.jp/qa/q5310637.html
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