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マンデルブロート集合で、すぐ近くの点は？
マンデルブロート集合のカオス領域において、点ｃ（複素数）が、含まれるとします。 では、Lim Δ→０ ｃ＋Δ という点（Δは実数としてもよい）は、含まれますか？ それとも、定義されない のでしょうか？
- morimot703
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>命題1.4 マンデルブロー集合M と実軸R との共通部分は >区間[－2, 1/4] である --------------------------------------- 区間[－2, 1/4]を”１/４”にしたのは、マンデルブロート集合の図形の特徴が最大に出るのと、数字の区切りが良いからである。 私の定義では、区間[－2, ０．９９９・・]となる。 区間[－2, 1/4]が区間[－2, ０．９９９・・]より 収束が早いと言うのに過ぎない。 従って 区間[－2, ０．２５１]でも似たような図形が出てくるはずで、 むしろ命題１．４として区間[－2, 1/4] と決め付けることは いかがなものかと思う。
補足
すいません。 #3 の証明では、 「任意の実数Δ>0に対して」 (1/4)+Δはマンデルブロ集合に含まれることを、仮定して、 背理法で、 含まれないことを、証明されているように思えます。 それなのに、何故、 ＞私の定義では、区間[－2, ０．９９９・・]となる のでしょうか？ 1/4<ｃ では、有界単調増加だから LimΔ→０ １－Δ＝cがマンデルブロ集合に含まれる仮定すると （Δ＞０） x^2+c=x x^2-x+c=0 (x-1/2)^2-(1/4)＋c＝0 ｃ＝１－Δ とすると、 (x-1/2)^2＋(3/4)－Δ＝0 (x-1/2)^2≧０ なので、(3/4)－Δ＞０ なら矛盾！ ∴ １－Δ＞1/4 は、マンデルブロ集合に含まれない したがって、 LimΔ→０ １－Δはマンデルブロ集合に含まれないのでは？
>任意の実数Δ>0に対して >(1/4)+Δはマンデルブロ集合に含まれない ---------------------------- (1/4)+Δ（Δ＝０．００１として） ＝０．２５＋０．００１ ＝０．２５１ はマンデルブロー集合のような気がしますが 気のせいかな？
お礼
調べて頂き、ありがとうございます。 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/mandel.pdf を見ると、 命題1.4 マンデルブロー集合M と実軸R との共通部分は区間[－2, 1/4] である また、 系1.3 マンデルブロー集合M は複素平面C の閉集合である． とあります。
マンデルブロート集合を赤点の集合とするとき 青点をその外点とするとき、その境界点は存在するのか？ だと思いますが、私にはわかりません。
お礼
ありがとうございます。 ちょっと違います。 マンデルブロート集合は、稠密か？ ということで、 逆に言えば、 マンデルブロート集合は、全て 孤立点か？ です。 （両者は、異なる概念かもしれませんが）
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お礼
ありがとうございます！！ なるほど、実数のｃで考えるて、収束を見るですか。 ｃが、複素数の場合は、絶対値で考えて、同様にすればいいですね。 自分でやってみます！！
補足
とは、言ったものの、、、 ｃが、 -2 の時、任意の実数Δ>0に対して （-２)+Δはマンデルブロ集合に含まれない とは、言えないので、 LimΔ→０ （-２)+Δ の点がどうなるか、同じようにやろうと したのですが、 ＞ {z_n}_{n∈N}は有界単調増加 と言えないような気がします。 どうしたら、よいでしょうか？