• 締切済み

数値解析の刻み幅

偏微分方程式を数値解析にて解く場合， 差分法を使って解こうとすると， dtやdxを設定してやる必要があると思います． たとえば， δa/δt = －δa/δx + a*cos(x) + (a^2+b^2)*a δb/δt = －δb/δx + b*cos(x) + (a^2+b^2)*b っていう方程式を解こうと考えた場合， （仮に初期条件を孤立波としておく） とりあえず線形項を考慮して，dt/dx<<1 は満たす必要があると思いますが，非線形項を含む場合は どのようにdtやdxを決定してやればいいのでしょうか？ dxは小さければ小さいほど良いというのは聞いたことがあるのですが・・・ テキトーに決定してやるのでいいのでしょうか？

みんなの回答

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.1

もし数値積分を１回だけしか計算しないとすると，それは危なっかしいです． テキトーから出発して，刻みを小さくしながら何度も計算してみる．また，数値表現の有効桁数が少ないのに刻みがやたら小さいと，問題の構造によっては桁落ちが起こるおそれもあります(この場合tのほうですね)から，有効桁数を増やしながら計算しなおすことも重要です． で，問題に特別危なっかしい要素でも入っていない限り，数値解が（求める精度で見て）一致するようになったら，「ま，足りたんだろう」ってことで，

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • １自由度振動系の運動方程式の解法について

    ｍを質量 ｃを減衰係数 ｋをバネ定数 (dx/dt)^2　をＸをｔでの２階微分とします。 今 m(dx1/dt)^2+c{(dx1/dt)-(dx0/dt)}+k(x1-x0)=0 という運動方程式で表される1自由度線形振動系があるとします。 この運動方程式を解くとき、 x0=Xsinωt x1=Ysin(ωt-φ) としたとき、上の二つの式を直接運動方程式に代入して解き、Y/Xを導く場合どうしてもφやsinやcosのせいで綺麗に解くことができません。 こういう場合に必要なテクニックなどあれば教えていただきたいです。 よろしくお願いします

  • 数値解析の手法（差分法）について

    現在、とある2元の1階偏微分方程式（解はu,vでそれぞれ右と左に進行する波）を数値解析によって解こうと考えています。 数値解析の手段として、差分法がよく用いられると思いますが、 現在、私は、場所に関してはuは後退差分、vは前進差分を使い、 時間に関しては前進差分を使って解いています。 ネットでは場所に関しては中心差分、時間に関してはルンゲ=クッタやリープフロッグなどが 使われていることが多く、私もこの２つを用いて解いてみました。 偏微分方程式には線形項が含まれていたため、 線形問題に対する制約であるΔt/Δx << 1は最低満たすように刻み幅をいろいろ取り、 計算時間も辞さず計算機を動かしてみましたが、 ノイズが消えず、解析解に限りなく近づくには至りませんでした。。 Δt/Δx=0.0001なども試したのですが・・・ そこで、諦めて違う差分法を試し、 場所に関して、uは後退差分、vは前進差分を使い、 時間に関しては前進差分を使って見たところ、 Δt/Δx=0.01程度で解析解に近い、なかなか精度の良い数値解を得ることが出来ました。 2次の差分では上手くいかず、1次の差分だとわりかし上手くいく・・・ 精度的には中心差分やルンゲ=クッタなどの方がいいと思うのですが・・ 正直不思議でなりませんでした。。。 最初に試した差分法のコードミスかと思い、何回もコードを確認し直しましたが、 やはり解析解に近づくには至りませんでした。 こんなことってあるのでしょうか？？ 差分法でも場合によって使い分ける必要があるということでしょうか・・？ その場合分けするときの指標など、知っておられる方、教えて頂けると助かります。 問題によって

  • 解析学の質問です

    次のように問題を解いてみました。 間違いがあれば、正しい解き方を教えてください。 【問題】 1. x=a*cost, y=b*sint　のとき、dy/dx , d^2*y/dx^2 を求めよ 【解答】 dx/dt = -a*sint, dy/dt = b*cost となるので、 dy/dx = b*cost/(-a*sint) = -b/a * cost/sint = -b/a * 1/tant = -b/(a*tant) d^2y/dx^2　は、(d/dx)*(dy/dx)なので、(d/dt)*(dy/dx)*(dt/dx)とおけるから、 （与式) = d/dx{(-b/a)*(1/tant)}*(1/-a*sint)である。 よって、-(b/a)*(1/sec^2*t)*(1/-a*sint)= b/(a^2*sint*sec^2t)=b/{a^2*sint*(1/cos^2t)} = b*cos^2t/a^2*sint = (b/a^2)*(cost/sint)*(cost) = (b/a^2)*tant*cost 以上、よろしくお願いします。

  • 次の微分方程式を解いてください。

    以下の線形常微分方程式をどなたか解いてください。お願いします。 t=0の時x=0 dx/dt=(cos(t)+sin(t))x/(cos(t)-sin(t))+(cos(t)+sin(t))^2

  • 微分方程式

    dx/dt=a^2-x^2 (aは実数の定数) (1)この微分方程式は1階の線形同次・線形非同次・非線形のどれにあてはまるか。 (2)この微分方程式の一般解を変数分離法で求めよ。 考えたことは(1)は非線形だと思いますが、合っていますか？ (2)はdx/(x^2-a^2)=-dtと変形し、両辺積分します。 　すると、1/(2a)log(|x-a|/|x+a|) = -t + C このあとx=が分からないです。 教えてください。お願いします

  • 三角関数を時間微分すると・・・

    まず、(a,bは定数)x=acosθ+bcosψを時間(t)で微分します。 するとdx/dt=-a(dθ/dt)sinθ-b(dψ/dt)sinψ-(1)と なるのはなんとなく分かるのですが。 (1)式をさらに時間(t)で微分すると、 (d^2x/dt^2)=-a(d^2θ/dt^2)cosθ-b(d^2ψ/dt^2)sinψ-b(dψ/dt)^2cosψ-(2)になるのがまったく分かりません。 どうして(1)式をさらに時間微分するとψの項が２つ出現するのか がまず？です。 何度も先生に聞いたりしましたが、よく分かりませんでした。 どなたか、解き方を教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 力学問題

    ふたつの関数φ(t)およびψ(t)に対し、何らかの定数a,bを用いて φ(t)=aψ(bt)のように書ける場合に「関数φ(t)と関数ψ(t)は相似 である」と言う事にする。 (a)質点Aと質点Bがそれぞれ 　m*(d^2x/dt^2)+γ*(dx/dt)+kx=0 M*(d^2x'/dt^2)+γ'*(dx'/dt)+k'x'=0 という運動方程式に従って運動しているとする(両者の間には 相互作用はない)。ここで、x(t)とx'(t)が相似になるためには、 係数のあいだに 　　　　　　　　　γ/√(mk)＝γ'/√(Mk') という関係が成り立つ必要があることを示せ。 (b)上記(a)の運動方程式に、さらに周期的な外力が加わった場合 を考える。Aに加わる外力の振動数ωとし、Bに加わる外力の振動 数をω'とする。このとき、x(t)とx'(t)が相似になるためには、 外力の振動数に関してどのような条件が必要か？ また別に、LCR直列回路に電圧Vex=V'cosΩtが加わった場合を考え、このときの電荷Qについての(または電流Iについての)常微分方程式をたてる。この電気回路の常微分方程式の解がこの質点系の 運動方程式の解と相似になるための条件を示せ。 この(a)(b)の問題が考えてもどのように解くのか全く分かりません でした。どうか教えてくださいお願いします。 (a)については無次元化がわからないです

  • 数値解析の問題

    dx/dt=1-x^2をオイラー法とルンゲクッタ法で０＜t＜２．８の区間におけるX（t）がわからないです。わかるかた是非教えてください。

  • 非線形微分方程式の特異点

    次の連立微分方程式について回答お願いします dx/dt = -x+y dx/dt = 2x+1-e^y 1,特異点を求める 2,特異点の近傍でe^yを一次の項まで近似し、方程式を線形化 3,線形化した方程式をベクトル表示 4,特性方程式（固有方程式）を解き、固有値を求める 5,この連立方程式の特異点のタイプは何か

  • 微分の質問です。

    途中式を書いてもらえると嬉しいです。 よろしくお願いします 線形方程式の初期値問題をラプラス変換してください。 １ d^2x/dt^2-3(dx/dt)-10x=0, x(0)=0 dx/dt(0)=7 2 d^2x/dt^2-4(dx/dt)+4x=0, x(0)=1 dx/dt(0)=0 3 d^2x/dt^2-3(dx/dt)+2x=e^3t, x(0)=1 dx/dt(0)=0

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する